Номер 13.54, страница 88 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.54, страница 88.

Условие.

13.54. Резистор с сопротивлением $\text{R}$ подключают к клеммам $\text{A}$ и $\text{B}$ (см. рисунок). Найдите силу тока $\text{I}$ через этот резистор.

К задаче 13.54

Решение.

Решение 2.

Дано:

ЭДС источника: $\text{E}$

Внутреннее сопротивление источника: $\text{r}$

Сопротивление первого резистора: $R_1$

Сопротивление второго резистора: $R_2$

Сопротивление подключаемого резистора: $\text{R}$

Найти:

Силу тока $\text{I}$ через резистор $\text{R}$.

Решение:

После подключения резистора с сопротивлением $\text{R}$ к клеммам A и B, получаем электрическую цепь, которую можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Резисторы $R_2$ и $\text{R}$ соединены последовательно, их общее сопротивление равно $R_2 + R$. Эта ветвь (CARB) подключена параллельно резистору $R_1$ (ветвь CD). Весь этот внешний участок цепи подключен к источнику тока.

Введем обозначения для токов:

$I_{общ}$ – общий ток, протекающий через источник;

$I_1$ – ток, протекающий через резистор $R_1$;

$\text{I}$ – ток, протекающий через последовательно соединенные резисторы $R_2$ и $\text{R}$ (искомый ток).

Согласно первому правилу Кирхгофа (правилу узлов) для узла C:

$I_{общ} = I_1 + I$ (1)

Применим второе правило Кирхгофа (правило контуров) для двух независимых контуров.

Для контура, включающего резисторы $R_1$, $R_2$ и $\text{R}$ (контур CDAC):

Напряжение на ветви с резистором $R_1$ равно напряжению на ветви с резисторами $R_2$ и $\text{R}$, так как они подключены параллельно между точками C и D (B и D соединены).

$I_1 R_1 = I R_2 + I R = I(R_2 + R)$ (2)

Для контура, включающего источник, его внутреннее сопротивление $\text{r}$ и резистор $R_1$:

$E = I_{общ} r + I_1 R_1$ (3)

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($I_{общ}$, $I_1$, $\text{I}$). Нам нужно найти $\text{I}$.

Из уравнения (2) выразим ток $I_1$ через искомый ток $\text{I}$:

$I_1 = I \frac{R_2 + R}{R_1}$

Подставим это выражение для $I_1$ в уравнение (1), чтобы выразить $I_{общ}$ через $\text{I}$:

$I_{общ} = I \frac{R_2 + R}{R_1} + I = I \left( \frac{R_2 + R}{R_1} + 1 \right) = I \frac{R_1 + R_2 + R}{R_1}$

Теперь подставим полученные выражения для $I_1$ и $I_{общ}$ в уравнение (3):

$E = \left( I \frac{R_1 + R_2 + R}{R_1} \right) r + \left( I \frac{R_2 + R}{R_1} \right) R_1$

Упростим выражение и выразим $\text{I}$:

$E = I \left( \frac{r(R_1 + R_2 + R)}{R_1} + R_2 + R \right)$

Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю $R_1$:

$E = I \frac{r(R_1 + R_2 + R) + R_1(R_2 + R)}{R_1}$

Отсюда находим искомый ток $\text{I}$:

$I = \frac{E R_1}{r(R_1 + R_2 + R) + R_1(R_2 + R)}$

Ответ:

Сила тока $\text{I}$ через резистор $\text{R}$ равна $I = \frac{E R_1}{r(R_1 + R_2 + R) + R_1(R_2 + R)}$.