Номер 13.48, страница 87 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.48, страница 87.

Условие.

13.48** В цепи с внешним сопротивлением $R = 2 \text{ Ом}$ необходимо обеспечить силу тока $I = 2 \text{ А}$. Какое наименьшее число $\text{N}$ элементов потребуется для этого, и как они должны быть соединены в батарею, если ЭДС каждого элемента $\mathcal{E} = 2 \text{ В}$, а внутреннее сопротивление $r = 1 \text{ Ом}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Внешнее сопротивление: $R = 2$ Ом

Сила тока в цепи: $I = 2$ А

ЭДС одного элемента: $\mathscr{E} = 2$ В

Внутреннее сопротивление одного элемента: $r = 1$ Ом

Найти:

Наименьшее число элементов $N_{min}$ и способ их соединения.

Решение:

Предположим, что для получения требуемого тока используется смешанное соединение элементов. Пусть батарея состоит из $\text{m}$ параллельных ветвей, и в каждой ветви содержится $\text{n}$ последовательно соединенных элементов. Общее число элементов в такой батарее равно $N = mn$.

При последовательном соединении $\text{n}$ элементов в одной ветви, её ЭДС и внутреннее сопротивление будут равны:

$\mathscr{E}_{ветви} = n\mathscr{E}$

$r_{ветви} = nr$

При параллельном соединении $\text{m}$ таких одинаковых ветвей, общая ЭДС батареи будет равна ЭДС одной ветви, а общее внутреннее сопротивление батареи найдется по формуле для параллельного соединения:

$\mathscr{E}_{бат} = n\mathscr{E}$

$r_{бат} = \frac{r_{ветви}}{m} = \frac{nr}{m}$

По закону Ома для полной цепи, сила тока $\text{I}$ определяется как:

$I = \frac{\mathscr{E}_{бат}}{R + r_{бат}}$

Подставим в это уравнение выражения для $\mathscr{E}_{бат}$ и $r_{бат}$:

$I = \frac{n\mathscr{E}}{R + \frac{nr}{m}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$2 = \frac{n \cdot 2}{2 + \frac{n \cdot 1}{m}}$

Разделим обе части на 2:

$1 = \frac{n}{2 + \frac{n}{m}}$

Преобразуем уравнение:

$2 + \frac{n}{m} = n$

Умножим обе части на $\text{m}$, чтобы избавиться от дроби:

$2m + n = nm$

Мы ищем наименьшее значение $N = mn$. Выразим $\text{n}$ через $\text{m}$ из полученного уравнения:

$2m = nm - n$

$2m = n(m - 1)$

$n = \frac{2m}{m - 1}$

Так как $\text{n}$ и $\text{m}$ — это количество элементов, они должны быть целыми положительными числами. Преобразуем выражение для $\text{n}$, чтобы выделить целую часть:

$n = \frac{2(m - 1 + 1)}{m - 1} = \frac{2(m - 1)}{m - 1} + \frac{2}{m - 1} = 2 + \frac{2}{m - 1}$

Чтобы $\text{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы $(m-1)$ было целым делителем числа 2. Положительными делителями числа 2 являются 1 и 2.

Рассмотрим возможные случаи:

1. Пусть $m - 1 = 1$. Тогда $m = 2$.
Находим $\text{n}$: $n = 2 + \frac{2}{1} = 4$.
Общее число элементов: $N = mn = 2 \cdot 4 = 8$.

2. Пусть $m - 1 = 2$. Тогда $m = 3$.
Находим $\text{n}$: $n = 2 + \frac{2}{2} = 3$.
Общее число элементов: $N = mn = 3 \cdot 3 = 9$.

Сравнивая два полученных результата, видим, что наименьшее число элементов равно 8.

Это достигается при $m=2$ и $n=4$, то есть батарея должна состоять из двух параллельных ветвей, в каждой из которых по четыре элемента соединены последовательно.

Ответ: Наименьшее число элементов $N = 8$. Они должны быть соединены в 2 параллельные группы, по 4 элемента последовательно в каждой группе.