Номер 13.43, страница 86 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.43, страница 86.

Условие.

13.43. К аккумулятору с внутренним сопротивлением $r = 0,01 \, \text{Ом}$ подключен резистор с сопротивлением $R = 10 \, \text{Ом}$. Вольтметр дает одинаковые показания как при последовательном, так и при параллельном подключении к резистору. Найдите сопротивление вольтметра $R_V$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Внутреннее сопротивление аккумулятора $r = 0,01$ Ом
Сопротивление резистора $R = 10$ Ом
Показания вольтметра $U_1$ при последовательном подключении к резистору и $U_2$ при параллельном подключении к резистору равны ($U_1 = U_2$).

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

Сопротивление вольтметра $R_V$.

Решение:

Обозначим ЭДС аккумулятора как $\mathcal{E}$. Рассмотрим два случая подключения вольтметра и запишем для каждого случая показания вольтметра.

1. Вольтметр подключен последовательно с резистором.
Общее сопротивление внешней цепи равно сумме сопротивлений резистора и вольтметра: $R_{внеш1} = R + R_V$.
Полное сопротивление цепи равно $R_{полн1} = r + R_{внеш1} = r + R + R_V$.
Сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи: $I_1 = \frac{\mathcal{E}}{r + R + R_V}$.
Вольтметр покажет напряжение на своих клеммах: $U_1 = I_1 \cdot R_V = \frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + R + R_V}$.

2. Вольтметр подключен параллельно резистору.
Эквивалентное сопротивление параллельно соединенных резистора и вольтметра: $R_{внеш2} = \frac{R \cdot R_V}{R + R_V}$.
Полное сопротивление цепи: $R_{полн2} = r + R_{внеш2} = r + \frac{R \cdot R_V}{R + R_V}$.
Общий ток в цепи: $I_{общ} = \frac{\mathcal{E}}{R_{полн2}} = \frac{\mathcal{E}}{r + \frac{R \cdot R_V}{R + R_V}}$.
Вольтметр покажет напряжение на параллельном участке, которое равно $U_2 = I_{общ} \cdot R_{внеш2}$.
$U_2 = \frac{\mathcal{E}}{r + \frac{R \cdot R_V}{R + R_V}} \cdot \frac{R \cdot R_V}{R + R_V} = \frac{\mathcal{E} \cdot R \cdot R_V}{r(R+R_V) + R \cdot R_V}$.

По условию задачи показания вольтметра в обоих случаях одинаковы, $U_1 = U_2$. Приравняем полученные выражения:
$\frac{\mathcal{E} \cdot R_V}{r + R + R_V} = \frac{\mathcal{E} \cdot R \cdot R_V}{r(R+R_V) + R \cdot R_V}$
Поскольку $\mathcal{E} \neq 0$ и сопротивление вольтметра $R_V \neq 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $\mathcal{E} \cdot R_V$:
$\frac{1}{r + R + R_V} = \frac{R}{rR + rR_V + R R_V}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$1 \cdot (rR + rR_V + R R_V) = R \cdot (r + R + R_V)$
$rR + rR_V + R R_V = rR + R^2 + R R_V$
Сократим одинаковые слагаемые ($\text{rR}$ и $R R_V$) в левой и правой частях уравнения:
$rR_V = R^2$
Отсюда выражаем искомое сопротивление вольтметра:
$R_V = \frac{R^2}{r}$

Выполним вычисления:
$R_V = \frac{(10 \text{ Ом})^2}{0,01 \text{ Ом}} = \frac{100 \text{ Ом}^2}{0,01 \text{ Ом}} = 10000$ Ом.

Ответ: сопротивление вольтметра $R_V = 10000$ Ом (или 10 кОм).