Номер 13.42, страница 86 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.42, страница 86.

Условие.

13.42*. Найдите показание амперметра в схеме (см. рисунок), если $\mathcal{E} = 15$ В, $R_1 = 4,2$ Ом, $R_2 = 8,0$ Ом, $R_3 = 12$ Ом. Каким станет это показание, если поменять местами амперметр и источник ЭДС? Внутреннее сопротивление источника и сопротивление амперметра малы по сравнению с сопротивлениями резисторов.

Решение.

Решение 2.

Дано:

ЭДС источника, $\mathcal{E} = 15$ В

Сопротивление резистора, $R_1 = 4,2$ Ом

Сопротивление резистора, $R_2 = 8,0$ Ом

Сопротивление резистора, $R_3 = 12$ Ом

Внутреннее сопротивление источника $r \approx 0$

Сопротивление амперметра $R_A \approx 0$

Найти:

$I_A$ — показание амперметра в исходной схеме.

$I'_A$ — показание амперметра после замены местами источника и амперметра.

Решение:

Найдите показание амперметра в схеме

В исходной схеме резисторы $R_2$ и $R_3$ соединены параллельно. Амперметр включен последовательно с резистором $R_3$, поэтому он измеряет ток $I_3$, протекающий через эту ветвь. Так как по условию сопротивление амперметра пренебрежимо мало, мы считаем его равным нулю.

Сначала найдем общее сопротивление параллельного участка цепи, состоящего из $R_2$ и $R_3$:

$R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{8,0 \cdot 12}{8,0 + 12} = \frac{96}{20} = 4,8 \text{ Ом}$

Этот параллельный участок соединен последовательно с резистором $R_1$. Полное сопротивление внешней цепи равно:

$R_{общ} = R_1 + R_{23} = 4,2 + 4,8 = 9,0 \text{ Ом}$

Согласно закону Ома для полной цепи, общий ток, создаваемый источником, равен (пренебрегая его внутренним сопротивлением $r \approx 0$):

$I_{общ} = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{15}{9,0} = \frac{5}{3} \text{ А}$

Этот ток протекает через резистор $R_1$, а затем разветвляется. Чтобы найти ток $I_A$, который измеряет амперметр (ток в ветви с $R_3$), можно воспользоваться формулой делителя тока:

$I_A = I_3 = I_{общ} \cdot \frac{R_2}{R_2 + R_3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{8,0}{8,0 + 12} = \frac{5}{3} \cdot \frac{8}{20} = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{3} \text{ А}$

Таким образом, показание амперметра составляет $\frac{2}{3} \text{ А}$, что приблизительно равно $0,67 \text{ А}$.

Ответ: Показание амперметра в исходной схеме составляет $\frac{2}{3} \text{ А}$ (приблизительно $0,67 \text{ А}$).

Каким станет это показание, если поменять местами амперметр и источник ЭДС?

Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться теоремой о взаимности (принципом взаимности) для линейных электрических цепей. Эта теорема утверждает, что если источник напряжения $\text{U}$ (в нашем случае ЭДС $\mathcal{E}$), включенный в одну ветвь цепи, вызывает в другой ветви ток $\text{I}$, то при переносе этого источника напряжения во вторую ветвь он вызовет в первой ветви ток той же величины $\text{I}$.

В нашем случае источник ЭДС переносится из главной ветви в ветвь с резистором $R_3$, а амперметр (который измеряет ток) — из ветви с $R_3$ в главную ветвь. Согласно теореме о взаимности, новое показание амперметра $I'_A$ будет равно старому показанию $I_A$.

$I'_A = I_A = \frac{2}{3} \text{ А}$

Для подтверждения этого результата выполним прямой расчет для новой схемы с помощью правил Кирхгофа.

В новой схеме амперметр измеряет общий ток $I'_A$. Этот ток течет через $R_1$ и далее разветвляется на две параллельные ветви: одна с резистором $R_2$, а другая — с последовательно соединенными $R_3$ и источником ЭДС $\mathcal{E}$.

Обозначим токи: $I'_A$ — общий ток, $I_2$ — ток через $R_2$, $I_3$ — ток через $R_3$ и $\mathcal{E}$.

Применим правила Кирхгофа:

1. Первое правило Кирхгофа (для узла): $I'_A = I_2 + I_3$

2. Второе правило Кирхгофа (для левого контура: $A \rightarrow R_1 \rightarrow R_2$): $I'_A R_1 + I_2 R_2 = 0$

3. Второе правило Кирхгофа (для правого контура: $R_2 \rightarrow \mathcal{E} \rightarrow R_3$): $I_3 R_3 + \mathcal{E} - I_2 R_2 = 0$

Из уравнения (2) выражаем $I_2$:

$I_2 = -I'_A \frac{R_1}{R_2}$

Из уравнения (1) выражаем $I_3$ и подставляем $I_2$:

$I_3 = I'_A - I_2 = I'_A - (-I'_A \frac{R_1}{R_2}) = I'_A (1 + \frac{R_1}{R_2})$

Подставляем полученные выражения для $I_2$ и $I_3$ в уравнение (3):

$I'_A (1 + \frac{R_1}{R_2}) R_3 + \mathcal{E} - (-I'_A \frac{R_1}{R_2}) R_2 = 0$

$I'_A R_3 + I'_A \frac{R_1 R_3}{R_2} + \mathcal{E} + I'_A R_1 = 0$

$I'_A (R_3 + \frac{R_1 R_3}{R_2} + R_1) = -\mathcal{E}$

$I'_A (\frac{R_2 R_3 + R_1 R_3 + R_1 R_2}{R_2}) = -\mathcal{E}$

$I'_A = - \frac{\mathcal{E} R_2}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$

Подставим числовые значения:

$I'_A = - \frac{15 \cdot 8,0}{(4,2 \cdot 8,0) + (4,2 \cdot 12) + (8,0 \cdot 12)} = - \frac{120}{33,6 + 50,4 + 96} = - \frac{120}{180} = - \frac{2}{3} \text{ А}$

Знак «минус» говорит о том, что ток течет в направлении, противоположном изначально выбранному для обхода контура. Величина тока, которую покажет амперметр, равна $|I'_A| = \frac{2}{3} \text{ А}$.

Расчет подтверждает, что показание амперметра не изменится.

Ответ: Показание амперметра не изменится и будет составлять $\frac{2}{3} \text{ А}$ (приблизительно $0,67 \text{ А}$).