Номер 13.49, страница 87 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.49, страница 87.

Условие.

13.49*. В конце зарядки аккумулятора сила тока $I_1 = 3,0$ А, а напряжение на клеммах $U_1 = 8,85$ В. В начале разрядки того же аккумулятора сила тока $I_2 = 4,0$ А, а напряжение $U_2 = 8,5$ В. Найдите ЭДС $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $\text{r}$ аккумулятора.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сила тока при зарядке $I_1 = 3,0$ А.

Напряжение на клеммах при зарядке $U_1 = 8,85$ В.

Сила тока при разрядке $I_2 = 4,0$ А.

Напряжение на клеммах при разрядке $U_2 = 8,5$ В.

Найти:

ЭДС аккумулятора $\mathscr{E}$.

Внутреннее сопротивление аккумулятора $\text{r}$.

Решение:

Рассмотрим два случая работы аккумулятора: зарядку и разрядку. Мы предполагаем, что ЭДС $\mathscr{E}$ и внутреннее сопротивление $\text{r}$ аккумулятора остаются постоянными в обоих процессах.

1. Зарядка аккумулятора. В этом режиме аккумулятор является потребителем энергии. Напряжение на его клеммах $U_1$ больше ЭДС на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении. Закон Ома для полной цепи в этом случае выглядит так:

$U_1 = \mathscr{E} + I_1 \cdot r$

2. Разрядка аккумулятора. В этом режиме аккумулятор является источником тока. Напряжение на его клеммах $U_2$ меньше ЭДС на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении. Закон Ома для полной цепи в этом случае:

$U_2 = \mathscr{E} - I_2 \cdot r$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\mathscr{E}$ и $\text{r}$.

$\begin{cases} U_1 = \mathscr{E} + I_1 \cdot r \\ U_2 = \mathscr{E} - I_2 \cdot r \end{cases}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\begin{cases} 8,85 = \mathscr{E} + 3,0 \cdot r \\ 8,5 = \mathscr{E} - 4,0 \cdot r \end{cases}$

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам исключить ЭДС $\mathscr{E}$ и найти внутреннее сопротивление $\text{r}$.

$U_1 - U_2 = (\mathscr{E} + I_1 \cdot r) - (\mathscr{E} - I_2 \cdot r)$

$U_1 - U_2 = \mathscr{E} + I_1 \cdot r - \mathscr{E} + I_2 \cdot r$

$U_1 - U_2 = r \cdot (I_1 + I_2)$

Выразим отсюда внутреннее сопротивление $\text{r}$:

$r = \frac{U_1 - U_2}{I_1 + I_2}$

Подставим значения и вычислим $\text{r}$:

$r = \frac{8,85 \text{ В} - 8,5 \text{ В}}{3,0 \text{ А} + 4,0 \text{ А}} = \frac{0,35 \text{ В}}{7,0 \text{ А}} = 0,05$ Ом.

Теперь, зная внутреннее сопротивление, мы можем найти ЭДС $\mathscr{E}$, подставив значение $\text{r}$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся первым уравнением:

$\mathscr{E} = U_1 - I_1 \cdot r$

$\mathscr{E} = 8,85 \text{ В} - 3,0 \text{ А} \cdot 0,05 \text{ Ом} = 8,85 \text{ В} - 0,15 \text{ В} = 8,7$ В.

Для проверки можно подставить найденные значения во второе уравнение:

$\mathscr{E} = U_2 + I_2 \cdot r = 8,5 \text{ В} + 4,0 \text{ А} \cdot 0,05 \text{ Ом} = 8,5 \text{ В} + 0,2 \text{ В} = 8,7$ В.

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: ЭДС аккумулятора $\mathscr{E} = 8,7$ В, внутреннее сопротивление $r = 0,05$ Ом.