Номер 13.56, страница 89 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.56, страница 89.

Условие.

13.56*. Какой заряд пройдет через ключ $\text{K}$ (см. рисунок) после его замыкания?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкости конденсаторов: $C_1$, $C_2$

Сопротивления резисторов: $R_1$, $R_2$

Напряжение источника: $\text{U}$

Найти:

Заряд, прошедший через ключ К: $Δq_K$

Решение:

Заряд $Δq_K$, который пройдет через ключ K после его замыкания, равен изменению заряда на изолированном участке цепи, к которому подключается ключ. Рассмотрим узел A, соединяющий правую обкладку конденсатора $C_1$ и левую обкладку конденсатора $C_2$. Заряд, прошедший через ключ, равен суммарному заряду, который придет на эти две обкладки после замыкания ключа.

Найдем заряд на этих обкладках в двух состояниях: до и после замыкания ключа.

1. Ключ К разомкнут.

В установившемся режиме конденсаторы $C_1$ и $C_2$ соединены последовательно и подключены к источнику напряжения $\text{U}$. Их общая емкость $C_{общ}$ равна:

$C_{общ} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$

Общий заряд на последовательно соединенных конденсаторах одинаков и равен:

$q = C_{общ} U = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U$

На правой обкладке конденсатора $C_1$ находится заряд $q_{1, правая} = -q$. На левой обкладке конденсатора $C_2$ находится заряд $q_{2, левая} = +q$.

Суммарный заряд в узле A до замыкания ключа равен:

$Q_{A,1} = q_{1, правая} + q_{2, левая} = -q + q = 0$

2. Ключ К замкнут.

После замыкания ключа и завершения переходных процессов (в установившемся режиме) ток через конденсаторы не течет. Ток течет только через резисторы $R_1$ и $R_2$, которые соединены последовательно. Потенциал точки A становится равным потенциалу точки B.

Найдем потенциал точки B ($φ_B$). Резисторы $R_1$ и $R_2$ образуют делитель напряжения. Примем потенциал отрицательной клеммы источника за 0, тогда потенциал положительной клеммы равен $\text{U}$. Потенциал точки B равен:

$φ_B = U \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Поскольку точки A и B соединены, их потенциалы равны: $φ_A = φ_B$.

Теперь найдем новые заряды на конденсаторах. Напряжение на конденсаторе $C_1$ равно разности потенциалов между положительной клеммой источника и точкой A:

$U'_1 = U - φ_A = U - U \frac{R_2}{R_1 + R_2} = U \frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Заряд на правой обкладке $C_1$:

$q'_{1, правая} = -C_1 U'_1 = -C_1 U \frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Напряжение на конденсаторе $C_2$ равно разности потенциалов между точкой A и отрицательной клеммой источника:

$U'_2 = φ_A - 0 = U \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Заряд на левой обкладке $C_2$:

$q'_{2, левая} = +C_2 U'_2 = C_2 U \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Суммарный заряд в узле A после замыкания ключа:

$Q_{A,2} = q'_{1, правая} + q'_{2, левая} = -C_1 U \frac{R_1}{R_1 + R_2} + C_2 U \frac{R_2}{R_1 + R_2} = U \frac{C_2 R_2 - C_1 R_1}{R_1 + R_2}$

3. Заряд, прошедший через ключ.

По закону сохранения заряда, заряд $Δq_K$, прошедший через ключ в узел A, равен изменению заряда этого узла:

$Δq_K = Q_{A,2} - Q_{A,1} = U \frac{C_2 R_2 - C_1 R_1}{R_1 + R_2} - 0 = U \frac{C_2 R_2 - C_1 R_1}{R_1 + R_2}$

Знак заряда показывает направление его движения. Если $C_2 R_2 > C_1 R_1$, то заряд положительный, что соответствует протеканию положительного заряда от точки B к точке A. Если $C_2 R_2 < C_1 R_1$, заряд отрицательный, что означает протекание положительного заряда от A к B.

Ответ: $Δq_K = U \frac{C_2 R_2 - C_1 R_1}{R_1 + R_2}$