Номер 13.61, страница 89 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.61, страница 89.

Условие.

13.61*. Какой заряд $\text{q}$ пройдет через резистор $R_2$ (см.рисунок) после размыкания ключа $\text{K}$? Сопротивления резисто-ров одинаковы: $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R$.

К задаче 13.61

Решение.

Решение 2.

Дано:

Источник тока с ЭДС $\text{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$.

Четыре одинаковых резистора: $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R$.

Конденсатор емкостью $\text{C}$.

Найти:

$\text{q}$ - заряд, который пройдет через резистор $R_2$ после размыкания ключа K.

Решение:

Заряд, который пройдет через резистор $R_2$, равен изменению заряда на конденсаторе, так как резистор $R_2$ является единственным путем для перезарядки конденсатора. Найдем заряд на конденсаторе в двух стационарных состояниях: до и после размыкания ключа K.

1. Ключ K замкнут (начальное состояние).

Когда ключ K замкнут в течение длительного времени, конденсатор C полностью заряжен, и постоянный ток через него (и через резистор $R_2$) не течет. Ключ K замыкает накоротко резистор $R_1$. Ток от источника протекает через цепь, состоящую из последовательно соединенных резисторов $R_3$ и $R_4$.

Внешнее сопротивление цепи: $R_{ext1} = R_3 + R_4 = R + R = 2R$.

Сила тока в цепи по закону Ома для полной цепи:

$I_1 = \frac{E}{r + R_{ext1}} = \frac{E}{r + 2R}$.

Найдем напряжение на конденсаторе $U_{C1}$. Оно равно разности потенциалов между точками, к которым он подключен. Обозначим узел между $R_1$ и $R_2$ как A, а узел между $R_3$ и $R_4$ как B. Напряжение на конденсаторе $U_{C1}$ равно разности потенциалов $\phi_A - \phi_B$.

Поскольку ток через $R_2$ не течет, потенциал верхней обкладки конденсатора равен потенциалу точки A. Потенциал нижней обкладки равен потенциалу точки B.

Примем потенциал отрицательного полюса источника равным нулю. Тогда потенциал точки А (учитывая, что $R_1$ закорочен) равен напряжению на внешнем участке цепи:

$\phi_A = I_1 R_{ext1} = \frac{E}{r + 2R} \cdot 2R = \frac{2RE}{r + 2R}$.

Потенциал точки B равен падению напряжения на резисторе $R_3$:

$\phi_B = I_1 R_3 = \frac{E}{r + 2R} \cdot R = \frac{RE}{r + 2R}$.

Напряжение на конденсаторе в начальном состоянии:

$U_{C1} = \phi_A - \phi_B = \frac{2RE}{r + 2R} - \frac{RE}{r + 2R} = \frac{RE}{r + 2R}$.

Начальный заряд на конденсаторе:

$q_1 = C U_{C1} = \frac{CRE}{r + 2R}$.

2. Ключ K разомкнут (конечное состояние).

После размыкания ключа K и установления нового стационарного состояния, конденсатор C снова будет полностью заряжен, и ток через него и резистор $R_2$ течь не будет. Теперь ток от источника течет через последовательно соединенные резисторы $R_1$, $R_3$ и $R_4$.

Новое внешнее сопротивление цепи: $R_{ext2} = R_1 + R_3 + R_4 = R + R + R = 3R$.

Новая сила тока в цепи:

$I_2 = \frac{E}{r + R_{ext2}} = \frac{E}{r + 3R}$.

Найдем новое напряжение на конденсаторе $U_{C2}$, которое равно новой разности потенциалов $\phi'_A - \phi'_B$.

Потенциал точки A (после $R_1$):

$\phi'_A = I_2 (R_3 + R_4) = \frac{E}{r + 3R} \cdot 2R = \frac{2RE}{r + 3R}$.

Потенциал точки B (между $R_3$ и $R_4$):

$\phi'_B = I_2 R_3 = \frac{E}{r + 3R} \cdot R = \frac{RE}{r + 3R}$.

Напряжение на конденсаторе в конечном состоянии:

$U_{C2} = \phi'_A - \phi'_B = \frac{2RE}{r + 3R} - \frac{RE}{r + 3R} = \frac{RE}{r + 3R}$.

Конечный заряд на конденсаторе:

$q_2 = C U_{C2} = \frac{CRE}{r + 3R}$.

3. Расчет протекшего заряда.

Заряд $\text{q}$, прошедший через резистор $R_2$, равен изменению заряда на конденсаторе:

$q = |q_1 - q_2| = |\frac{CRE}{r + 2R} - \frac{CRE}{r + 3R}| = CRE |\frac{(r + 3R) - (r + 2R)}{(r + 2R)(r + 3R)}|$.

$q = CRE \frac{R}{(r + 2R)(r + 3R)} = \frac{CR^2E}{(r + 2R)(r + 3R)}$.

Ответ: Заряд, который пройдет через резистор $R_2$ после размыкания ключа K, равен $q = \frac{CR^2E}{(r + 2R)(r + 3R)}$.