Номер 13.57, страница 89 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.57, страница 89.

Условие.

13.57. Найдите разность потенциалов между точками А и В (см. схему к задаче 13.56) до замыкания ключа К.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Поскольку в условии задачи дана ссылка на схему к задаче 13.56, мы воспользуемся данными из этой задачи:

$C_1 = 1$ мкФ

$C_2 = 2$ мкФ

$C_3 = 3$ мкФ

$C_4 = 4$ мкФ

$U = 120$ В

Перевод в систему СИ:

$C_1 = 1 \cdot 10^{-6}$ Ф

$C_2 = 2 \cdot 10^{-6}$ Ф

$C_3 = 3 \cdot 10^{-6}$ Ф

$C_4 = 4 \cdot 10^{-6}$ Ф

Найти:

$U_{AB} = \phi_A - \phi_B$

Решение:

До замыкания ключа К цепь представляет собой две параллельные ветви, подключенные к источнику напряжения $\text{U}$. Верхняя ветвь содержит последовательно соединенные конденсаторы $C_1$ и $C_2$. Нижняя ветвь содержит последовательно соединенные конденсаторы $C_3$ и $C_4$. Точка А находится между конденсаторами $C_1$ и $C_2$, а точка B — между $C_3$ и $C_4$.

Для нахождения разности потенциалов $U_{AB} = \phi_A - \phi_B$ необходимо найти потенциалы точек А и В. Примем потенциал отрицательной клеммы источника равным нулю, тогда потенциал положительной клеммы будет равен $\text{U}$.

Рассмотрим верхнюю ветвь. Конденсаторы $C_1$ и $C_2$ соединены последовательно, поэтому заряды на их обкладках равны по модулю $q_{12}$.

Напряжение источника $\text{U}$ распределяется между конденсаторами $C_1$ и $C_2$:

$U = U_1 + U_2 = \frac{q_{12}}{C_1} + \frac{q_{12}}{C_2} = q_{12} \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right)$

Отсюда заряд $q_{12}$:

$q_{12} = \frac{U}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} U$

Потенциал точки А равен напряжению на конденсаторе $C_2$, так как его вторая обкладка соединена с отрицательной клеммой источника (потенциал 0):

$\phi_A = U_2 = \frac{q_{12}}{C_2} = \frac{C_1 C_2 U}{(C_1 + C_2)C_2} = \frac{C_1}{C_1 + C_2} U$

Рассмотрим нижнюю ветвь. Конденсаторы $C_3$ и $C_4$ также соединены последовательно, и заряды на них равны $q_{34}$. Аналогично верхней ветви:

$q_{34} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} U$

Потенциал точки В равен напряжению на конденсаторе $C_4$:

$\phi_B = U_4 = \frac{q_{34}}{C_4} = \frac{C_3 C_4 U}{(C_3 + C_4)C_4} = \frac{C_3}{C_3 + C_4} U$

Теперь найдем разность потенциалов между точками А и В:

$U_{AB} = \phi_A - \phi_B = \frac{C_1}{C_1 + C_2} U - \frac{C_3}{C_3 + C_4} U = \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} - \frac{C_3}{C_3 + C_4} \right) U$

Подставим числовые значения. Можно использовать значения емкостей в мкФ, так как они входят в безразмерное отношение:

$U_{AB} = \left( \frac{1}{1 + 2} - \frac{3}{3 + 4} \right) \cdot 120 = \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{7} \right) \cdot 120$

$U_{AB} = \left( \frac{7 - 9}{21} \right) \cdot 120 = -\frac{2}{21} \cdot 120 = -\frac{2 \cdot 40}{7} = -\frac{80}{7}$ В

Вычислим приближенное значение:

$U_{AB} \approx -11.43$ В

Знак "минус" означает, что потенциал точки А меньше потенциала точки В.

Ответ: Разность потенциалов между точками А и В равна $-80/7$ В, что приблизительно составляет $-11.43$ В.