Номер 13.50, страница 88 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.50, страница 88.

Условие.

13.50*. Генератор с ЭДС $\mathcal{E}_1 = 24 \text{ В}$ и внутренним сопротивлением $r_1 = 0,10 \text{ Ом}$ заряжает аккумулятор с ЭДС $\mathcal{E}_2 = 20 \text{ В}$ и внутренним сопротивлением $r_2 = 0,30 \text{ Ом}$. Параллельно аккумулятору включена лампа с сопротивлением $R = 1,5 \text{ Ом}$. Какие токи $I_1, I_2, I_3$ протекают через генератор, аккумулятор и лампу?

Решение.

Решение 2.

Дано:

ЭДС генератора $\mathscr{E}_1 = 24$ В

Внутреннее сопротивление генератора $r_1 = 0,10$ Ом

ЭДС аккумулятора $\mathscr{E}_2 = 20$ В

Внутреннее сопротивление аккумулятора $r_2 = 0,30$ Ом

Сопротивление лампы $R = 1,5$ Ом

Найти:

Ток через генератор $I_1$

Ток через аккумулятор $I_2$

Ток через лампу $I_3$

Решение:

В данной схеме генератор является источником тока для всей цепи. Аккумулятор и лампа соединены параллельно друг другу, и этот параллельный участок подключен к генератору.

Пусть $I_1$ — ток, протекающий через генератор, $I_2$ — ток, заряжающий аккумулятор, и $I_3$ — ток, протекающий через лампу.

Согласно первому правилу Кирхгофа (правилу узлов), ток, выходящий из генератора, в точке разветвления делится на токи в параллельных ветвях:

$I_1 = I_2 + I_3$ (1)

Обозначим напряжение на параллельном участке (на клеммах аккумулятора и лампы) как $\text{U}$.

Для лампы, согласно закону Ома, ток $I_3$ можно выразить как:

$U = I_3 R \implies I_3 = \frac{U}{R}$ (2)

Поскольку аккумулятор заряжается, напряжение на его клеммах $\text{U}$ будет больше его ЭДС $\mathscr{E}_2$ на величину падения напряжения на его внутреннем сопротивлении $r_2$:

$U = \mathscr{E}_2 + I_2 r_2 \implies I_2 = \frac{U - \mathscr{E}_2}{r_2}$ (3)

Напряжение на клеммах генератора (которое равно напряжению $\text{U}$) равно его ЭДС $\mathscr{E}_1$ за вычетом падения напряжения на его внутреннем сопротивлении $r_1$:

$U = \mathscr{E}_1 - I_1 r_1 \implies I_1 = \frac{\mathscr{E}_1 - U}{r_1}$ (4)

Теперь подставим выражения для токов $I_2$ и $I_3$ из уравнений (2) и (3) в уравнение (1):

$I_1 = \frac{U - \mathscr{E}_2}{r_2} + \frac{U}{R}$ (5)

Приравняем правые части уравнений (4) и (5), чтобы найти напряжение $\text{U}$:

$\frac{\mathscr{E}_1 - U}{r_1} = \frac{U - \mathscr{E}_2}{r_2} + \frac{U}{R}$

Перегруппируем члены уравнения для нахождения $\text{U}$:

$\frac{\mathscr{E}_1}{r_1} + \frac{\mathscr{E}_2}{r_2} = U \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{R}\right)$

$U = \frac{\frac{\mathscr{E}_1}{r_1} + \frac{\mathscr{E}_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{R}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$U = \frac{\frac{24}{0,10} + \frac{20}{0,30}}{\frac{1}{0,10} + \frac{1}{0,30} + \frac{1}{1,5}} = \frac{240 + \frac{200}{3}}{10 + \frac{10}{3} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{720 + 200}{3}}{\frac{30 + 10 + 2}{3}} = \frac{\frac{920}{3}}{\frac{42}{3}} = \frac{920}{42} = \frac{460}{21} \text{ В}$

$U \approx 21,905 \text{ В}$

Теперь, зная напряжение $\text{U}$, можем вычислить искомые токи, подставляя значение $\text{U}$ в уравнения (4), (3) и (2).

Ток через генератор $I_1$:

$I_1 = \frac{\mathscr{E}_1 - U}{r_1} = \frac{24 - \frac{460}{21}}{0,10} = \frac{\frac{504 - 460}{21}}{0,10} = \frac{44/21}{0,10} = \frac{440}{21} \text{ А} \approx 20,95 \text{ А}$

Ток через аккумулятор $I_2$:

$I_2 = \frac{U - \mathscr{E}_2}{r_2} = \frac{\frac{460}{21} - 20}{0,30} = \frac{\frac{460 - 420}{21}}{0,30} = \frac{40/21}{0,30} = \frac{400}{63} \text{ А} \approx 6,35 \text{ А}$

Ток через лампу $I_3$:

$I_3 = \frac{U}{R} = \frac{460/21}{1,5} = \frac{460}{21 \cdot 1,5} = \frac{460}{31,5} = \frac{920}{63} \text{ А} \approx 14,60 \text{ А}$

Для проверки убедимся, что выполняется первое правило Кирхгофа: $I_1 = I_2 + I_3$.

$6,35 \text{ А} + 14,60 \text{ А} = 20,95 \text{ А}$. Расчеты верны.

Ответ:

Ток через генератор $I_1 \approx 20,95$ А, ток через аккумулятор $I_2 \approx 6,35$ А, ток через лампу $I_3 \approx 14,60$ А.