Номер 13.45, страница 87 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.45, страница 87.

Условие.

13.45*. В цепи, показанной на рисунке, ЭДС каждого элемента $\mathcal{E}$, внутреннее сопротивление $\text{r}$. Какова разность потенциалов между точками $A_1$ и $A_2$? Между точками $A_1$ и $A_k$? Сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь.

К задаче 13.45

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество элементов: $\text{N}$

ЭДС каждого элемента: $\mathscr{E}$

Внутреннее сопротивление каждого элемента: $\text{r}$

Найти:

Разность потенциалов между точками $A_1$ и $A_2$: $U_{12} = \phi_{A_2} - \phi_{A_1}$

Разность потенциалов между точками $A_1$ и $A_k$: $U_{1k} = \phi_{A_k} - \phi_{A_1}$

Решение:

В данной замкнутой цепи все $\text{N}$ элементов соединены последовательно и в одном направлении (показано на рисунке, что все ЭДС направлены по часовой стрелке). Следовательно, их ЭДС и внутренние сопротивления складываются.

Суммарная ЭДС всей цепи $\mathscr{E}_{общ}$ равна:

$\mathscr{E}_{общ} = N \mathscr{E}$

Суммарное сопротивление всей цепи $R_{общ}$ равно сумме внутренних сопротивлений всех элементов:

$R_{общ} = N r$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $\text{I}$, протекающего в цепи, определяется как отношение суммарной ЭДС к суммарному сопротивлению:

$I = \frac{\mathscr{E}_{общ}}{R_{общ}} = \frac{N \mathscr{E}}{N r} = \frac{\mathscr{E}}{r}$

Этот ток одинаков на всех участках цепи.

Разность потенциалов между точками $A_1$ и $A_2$

Точки $A_1$ и $A_2$ являются клеммами первого элемента. Разность потенциалов (напряжение) на зажимах источника тока, через который протекает ток $\text{I}$, определяется по формуле $U = \mathscr{E} - Ir$. В данном случае ток течет в направлении действия ЭДС.

Двигаясь от точки $A_1$ к точке $A_2$ по направлению тока, потенциал увеличивается на величину ЭДС $\mathscr{E}$ и уменьшается на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении $\text{Ir}$. Таким образом, разность потенциалов $U_{12}$ равна:

$U_{12} = \phi_{A_2} - \phi_{A_1} = \mathscr{E} - Ir$

Подставим найденное ранее значение тока $I = \frac{\mathscr{E}}{r}$:

$U_{12} = \mathscr{E} - \frac{\mathscr{E}}{r} \cdot r = \mathscr{E} - \mathscr{E} = 0$

Таким образом, разность потенциалов между клеммами любого отдельного элемента в этой цепи равна нулю. Это происходит потому, что падение напряжения на внутреннем сопротивлении элемента в точности компенсирует его ЭДС.

Ответ: Разность потенциалов между точками $A_1$ и $A_2$ равна 0.

Разность потенциалов между точками $A_1$ и $A_k$

Чтобы найти разность потенциалов между точками $A_1$ и $A_k$, можно просуммировать разности потенциалов на участке цепи между этими точками. Двигаясь по часовой стрелке от $A_1$ до $A_k$, мы проходим через $k-1$ элементов (элементы с номерами 1, 2, ..., $k-1$).

Разность потенциалов $U_{1k}$ равна сумме разностей потенциалов на каждом из этих $k-1$ элементов:

$U_{1k} = (\phi_{A_2} - \phi_{A_1}) + (\phi_{A_3} - \phi_{A_2}) + ... + (\phi_{A_k} - \phi_{A_{k-1}})$

Как мы выяснили в предыдущем пункте, разность потенциалов на клеммах каждого отдельного элемента равна нулю:

$\phi_{A_{i+1}} - \phi_{A_i} = \mathscr{E} - Ir = 0$

Следовательно, сумма этих разностей потенциалов также будет равна нулю:

$U_{1k} = \sum_{i=1}^{k-1} (\phi_{A_{i+1}} - \phi_{A_i}) = \sum_{i=1}^{k-1} 0 = 0$

Другими словами, поскольку потенциалы во всех точках $A_1, A_2, ..., A_k, ..., A_N$ одинаковы, разность потенциалов между любыми двумя из этих точек равна нулю.

Ответ: Разность потенциалов между точками $A_1$ и $A_k$ равна 0.