Номер 13.68, страница 90 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.68, страница 90.

Условие.

13.68. К источнику подключаются поочередно резисторы с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$. В обоих случаях на резисторах выделяется одинаковая мощность. Найдите внутреннее сопротивление $\text{r}$ источника.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сопротивление первого резистора: $R_1$

Сопротивление второго резистора: $R_2$

Мощность, выделяемая на первом резисторе: $P_1$

Мощность, выделяемая на втором резисторе: $P_2$

Условие равенства мощностей: $P_1 = P_2$

ЭДС источника: $\mathcal{E}$

Найти:

Внутреннее сопротивление источника: $\text{r}$

Решение:

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $\text{I}$, текущего через резистор с сопротивлением $\text{R}$, подключенный к источнику с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$, равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

Мощность $\text{P}$, выделяемая на внешнем сопротивлении $\text{R}$, определяется формулой:

$P = I^2 R$

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2}$

Запишем выражения для мощности, выделяемой на каждом из резисторов.

В первом случае, при подключении резистора $R_1$, мощность равна:

$P_1 = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1 + r)^2}$

Во втором случае, при подключении резистора $R_2$, мощность равна:

$P_2 = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2 + r)^2}$

По условию задачи мощности в обоих случаях одинаковы, то есть $P_1 = P_2$. Приравняем правые части выражений:

$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2 + r)^2}$

Поскольку ЭДС источника $\mathcal{E}$ не равна нулю, можно сократить обе части уравнения на $\mathcal{E}^2$:

$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r)^2}$

Преобразуем полученное уравнение, чтобы выразить $\text{r}$. Для этого воспользуемся свойством пропорции (перемножим крест-накрест):

$R_1 (R_2 + r)^2 = R_2 (R_1 + r)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$R_1 (R_2^2 + 2R_2 r + r^2) = R_2 (R_1^2 + 2R_1 r + r^2)$

$R_1 R_2^2 + 2R_1 R_2 r + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + 2R_1 R_2 r + R_2 r^2$

Член $2R_1 R_2 r$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому он сокращается:

$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + R_2 r^2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $r^2$, в левой части, а остальные — в правой:

$R_1 r^2 - R_2 r^2 = R_2 R_1^2 - R_1 R_2^2$

Вынесем общие множители за скобки:

$r^2 (R_1 - R_2) = R_1 R_2 (R_1 - R_2)$

Задача подразумевает, что $R_1 \neq R_2$, иначе условие было бы тривиальным. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1 R_2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей и учитывая, что сопротивление является физически положительной величиной, получаем окончательное выражение для внутреннего сопротивления источника:

$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Ответ: $r = \sqrt{R_1 R_2}$.