Номер 13.78, страница 92 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.78, страница 92.

Условие.

13.78. Какую силу тока $\text{I}$ надо пропустить через железную проволоку диаметром $D = 0,5 \text{ мм}$, чтобы через $\tau = 1 \text{ с}$ проволока начала плавиться? Начальная температура проволоки $t_0 = 0°C$; теплопередачу в окружающую среду и зависимость сопротивления от температуры не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Диаметр железной проволоки, $D = 0,5$ мм

Время прохождения тока, $\tau = 1$ с

Начальная температура проволоки, $t_0 = 0$ °C

$D = 0,5 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Силу тока $\text{I}$

Решение:

По условию, теплопередачей в окружающую среду и зависимостью сопротивления от температуры можно пренебречь. Это означает, что всё количество теплоты $Q_1$, выделившееся в проволоке при прохождении тока, пошло на её нагревание до температуры плавления $t_{пл}$.

Количество теплоты, выделившееся в проволоке, определяется по закону Джоуля-Ленца:

$Q_1 = I^2 R \tau$

Количество теплоты $Q_2$, необходимое для нагревания проволоки от начальной температуры до температуры плавления:

$Q_2 = c m (t_{пл} - t_0)$

Приравниваем эти два выражения, так как $Q_1 = Q_2$:

$I^2 R \tau = c m (t_{пл} - t_0)$

Сопротивление $\text{R}$ и массу $\text{m}$ проволоки выразим через её геометрические размеры (длину $\text{l}$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$) и физические свойства железа (удельное сопротивление $\rho_e$ и плотность $\rho_m$).

Для решения задачи потребуются справочные данные для железа:

• Удельное электрическое сопротивление, $\rho_e \approx 9,8 \cdot 10^{-8}$ Ом·м
• Плотность, $\rho_m \approx 7800$ кг/м³
• Удельная теплоемкость, $c \approx 460$ Дж/(кг·°C)
• Температура плавления, $t_{пл} \approx 1535$ °C

Сопротивление проволоки: $R = \rho_e \frac{l}{S}$

Масса проволоки: $m = \rho_m V = \rho_m S l$, где $\text{V}$ - объем.

Подставим выражения для $\text{R}$ и $\text{m}$ в уравнение теплового баланса:

$I^2 \left( \rho_e \frac{l}{S} \right) \tau = c (\rho_m S l) (t_{пл} - t_0)$

Длина проволоки $\text{l}$ сокращается, и мы можем выразить $I^2$:

$I^2 \frac{\rho_e}{S} \tau = c \rho_m S (t_{пл} - t_0)$

$I^2 = \frac{c \rho_m S^2 (t_{пл} - t_0)}{\rho_e \tau}$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти силу тока $\text{I}$:

$I = S \sqrt{\frac{c \rho_m (t_{пл} - t_0)}{\rho_e \tau}}$

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ для провода с диаметром $\text{D}$ равна:

$S = \frac{\pi D^2}{4}$

Подставляем выражение для $\text{S}$ в итоговую формулу:

$I = \frac{\pi D^2}{4} \sqrt{\frac{c \rho_m (t_{пл} - t_0)}{\rho_e \tau}}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$I = \frac{\pi (0,5 \cdot 10^{-3})^2}{4} \sqrt{\frac{460 \cdot 7800 \cdot (1535 - 0)}{9,8 \cdot 10^{-8} \cdot 1}}$

$I = \frac{3,1416 \cdot 0,25 \cdot 10^{-6}}{4} \sqrt{\frac{5507580000}{9,8 \cdot 10^{-8}}}$

$I \approx 0,19635 \cdot 10^{-6} \cdot \sqrt{5,61998 \cdot 10^{16}}$

$I \approx 0,19635 \cdot 10^{-6} \cdot 2,37065 \cdot 10^8$

$I \approx 46,54$ А

Ответ: Чтобы проволока начала плавиться, через нее необходимо пропустить ток силой примерно $46,5$ А.