Номер 13.80, страница 92 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.80, страница 92.

Условие.

13.80*. Три тонких проволоки одинаковых размеров — железная, медная и алюминиевая — соединены параллельно. Какая из них перегорит первой после подключения к источнику высокого напряжения? Начальная температура $t_0 = 0 \text{ °С.}$ Зависимость сопротивления от температуры не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$L_{Fe} = L_{Cu} = L_{Al} = L$ (одинаковая длина)

$S_{Fe} = S_{Cu} = S_{Al} = S$ (одинаковая площадь поперечного сечения)

$U_{Fe} = U_{Cu} = U_{Al} = U$ (параллельное соединение)

$t_0 = 0$ °C

Найти:

Какая из проволок перегорит первой?

Решение:

Проволока перегорит, когда её температура достигнет температуры плавления $t_{пл}$. Первой перегорит та проволока, которая нагреется до своей температуры плавления за наименьшее время $\Delta t$.

Количество теплоты, которое выделяется в проводнике при прохождении тока, определяется законом Джоуля-Ленца. Мощность тепловыделения равна $P = \frac{Q_{ген}}{\Delta t}$. Так как проволоки соединены параллельно, напряжение $\text{U}$ на каждой из них одинаково. Поэтому удобнее использовать формулу мощности через напряжение и сопротивление: $P = \frac{U^2}{R}$.

Количество теплоты, необходимое для нагревания проволоки от начальной температуры $t_0$ до температуры плавления $t_{пл}$, равно $Q_{нагр} = cm(t_{пл} - t_0)$, где $\text{c}$ — удельная теплоёмкость, $\text{m}$ — масса проволоки.

Приравнивая количество выделившейся теплоты к количеству теплоты, пошедшей на нагрев (пренебрегая теплообменом с окружающей средой), получаем:

$Q_{ген} = Q_{нагр}$

$P \Delta t = cm(t_{пл} - t_0)$

$\frac{U^2}{R} \Delta t = cm(t_{пл} - t_0)$

Отсюда можем выразить время нагрева $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{cmR(t_{пл} - t_0)}{U^2}$

Массу $\text{m}$ и сопротивление $\text{R}$ проволоки можно выразить через её геометрические размеры (длину $\text{L}$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$) и физические свойства материала (плотность $\text{D}$ и удельное сопротивление $\rho$):

$m = D \cdot V = D \cdot L \cdot S$

$R = \rho \frac{L}{S}$

Подставим эти выражения в формулу для времени $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{c \cdot (DLS) \cdot (\rho \frac{L}{S}) \cdot (t_{пл} - t_0)}{U^2} = \frac{c D \rho L^2 (t_{пл} - t_0)}{U^2}$

По условию задачи, все проволоки имеют одинаковые размеры ($\text{L}$ и $\text{S}$ одинаковы) и подключены к одному источнику напряжения ($\text{U}$ одинаково). Следовательно, время нагрева до температуры плавления зависит только от произведения физических констант материала: $c \cdot D \cdot \rho \cdot (t_{пл} - t_0)$.

Проволока, для которой это произведение будет минимальным, перегорит первой. Найдём значения этих величин для железа, меди и алюминия из справочных таблиц ($t_0 = 0$ °C).

1. Железо (Fe):

$c_{Fe} \approx 450 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

$D_{Fe} \approx 7870 \frac{кг}{м^3}$

$\rho_{Fe} \approx 0.1 \cdot 10^{-6} Ом \cdot м$

$t_{пл, Fe} \approx 1538$ °C

Произведение для железа: $K_{Fe} = c_{Fe} D_{Fe} \rho_{Fe} t_{пл, Fe} \approx 450 \cdot 7870 \cdot 0.1 \cdot 10^{-6} \cdot 1538 \approx 5.45 \cdot 10^8 \frac{Дж \cdot Ом}{м^2}$

2. Медь (Cu):

$c_{Cu} \approx 385 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

$D_{Cu} \approx 8960 \frac{кг}{м^3}$

$\rho_{Cu} \approx 0.017 \cdot 10^{-6} Ом \cdot м$

$t_{пл, Cu} \approx 1083$ °C

Произведение для меди: $K_{Cu} = c_{Cu} D_{Cu} \rho_{Cu} t_{пл, Cu} \approx 385 \cdot 8960 \cdot 0.017 \cdot 10^{-6} \cdot 1083 \approx 0.64 \cdot 10^8 \frac{Дж \cdot Ом}{м^2}$

3. Алюминий (Al):

$c_{Al} \approx 900 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

$D_{Al} \approx 2700 \frac{кг}{м^3}$

$\rho_{Al} \approx 0.028 \cdot 10^{-6} Ом \cdot м$

$t_{пл, Al} \approx 660$ °C

Произведение для алюминия: $K_{Al} = c_{Al} D_{Al} \rho_{Al} t_{пл, Al} \approx 900 \cdot 2700 \cdot 0.028 \cdot 10^{-6} \cdot 660 \approx 0.45 \cdot 10^8 \frac{Дж \cdot Ом}{м^2}$

Сравнивая полученные значения, видим, что $K_{Al} < K_{Cu} < K_{Fe}$.

$0.45 \cdot 10^8 < 0.64 \cdot 10^8 < 5.45 \cdot 10^8$

Минимальное значение произведения физических констант у алюминия, следовательно, алюминиевая проволока нагреется до своей температуры плавления быстрее всех.

Ответ: Первой перегорит алюминиевая проволока.