Номер 13.33, страница 84 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.33, страница 84.

Условие.

13.33*. Какой ток течет че- рез каждый из резисторов (см. рису- нок), если к цепи приложено напряже- ние $U = 84$ В? Сопротивления резисто- ров $R_1 = R_5 = R_8 = 12$ Ом; $R_2 = R_6 = R_7 = 6,0$ Ом; $R_3 = 3,0$ Ом; $R_4 = 24$ Ом.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Напряжение, приложенное к цепи: $U = 84$ В.
Сопротивления резисторов:
$R_1 = 12$ Ом
$R_2 = 6,0$ Ом
$R_3 = 3,0$ Ом
$R_4 = 24$ Ом
$R_5 = 12$ Ом
$R_6 = 6,0$ Ом
$R_7 = 6,0$ Ом
$R_8 = 12$ Ом
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Токи, протекающие через каждый из резисторов: $I_1, I_2, I_3, I_4, I_5, I_6, I_7, I_8$.

Решение:

Схема представляет собой сложную цепь, которую можно рассчитать, последовательно упрощая ее участки. Напряжение $\text{U}$ приложено к входным клеммам слева. Резистор $R_4$ подключен параллельно остальной части цепи. Для нахождения токов будем последовательно вычислять эквивалентные сопротивления участков цепи, начиная с самого дальнего от источника.

1. Резисторы $R_3$, $R_6$ и $R_7$ соединены параллельно. Найдем их эквивалентное сопротивление $R_{367}$:$ \frac{1}{R_{367}} = \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_6} + \frac{1}{R_7} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $ Ом^-1
$ R_{367} = \frac{3}{2} = 1,5 $ Ом.

2. Резисторы $R_2$, $R_{367}$ и $R_8$ соединены последовательно. Их общее сопротивление $R_{23678}$:$ R_{23678} = R_2 + R_{367} + R_8 = 6 + 1,5 + 12 = 19,5 $ Ом.

3. Участок цепи с сопротивлением $R_{23678}$ соединен параллельно с резистором $R_5$. Найдем их эквивалентное сопротивление $R_{CB}$:$ R_{CB} = \frac{R_5 \cdot R_{23678}}{R_5 + R_{23678}} = \frac{12 \cdot 19,5}{12 + 19,5} = \frac{234}{31,5} = \frac{2340}{315} = \frac{52}{7} $ Ом.

4. Этот участок соединен последовательно с резистором $R_1$. Найдем сопротивление всей верхней ветви $R_{верх}$:$ R_{верх} = R_1 + R_{CB} = 12 + \frac{52}{7} = \frac{84+52}{7} = \frac{136}{7} $ Ом.

5. Теперь мы можем найти токи в основных ветвях. Напряжение на обеих параллельных ветвях (содержащей $R_4$ и верхней ветви) равно $U = 84$ В.

Ток через резистор $R_4$:$ I_4 = \frac{U}{R_4} = \frac{84}{24} = 3,5 $ А.

Ток через верхнюю ветвь (этот же ток протекает через резистор $R_1$):$ I_1 = \frac{U}{R_{верх}} = \frac{84}{136/7} = \frac{84 \cdot 7}{136} = \frac{21 \cdot 4 \cdot 7}{34 \cdot 4} = \frac{147}{34} $ А $ \approx 4,32 $ А.

6. Ток $I_1$ в узле между $R_1$, $R_2$ и $R_5$ разветвляется на токи $I_2$ и $I_5$. Для их нахождения найдем напряжение $U_{CB}$ на участке цепи с эквивалентным сопротивлением $R_{CB}$:$ U_{CB} = I_1 \cdot R_{CB} = \frac{147}{34} \cdot \frac{52}{7} = \frac{21 \cdot 7}{34} \cdot \frac{52}{7} = \frac{21 \cdot 52}{34} = \frac{21 \cdot 26}{17} = \frac{546}{17} $ В.

7. Теперь найдем токи $I_2$ и $I_5$:Ток через резистор $R_5$:$ I_5 = \frac{U_{CB}}{R_5} = \frac{546/17}{12} = \frac{546}{17 \cdot 12} = \frac{45,5}{17} = \frac{91}{34} $ А $ \approx 2,68 $ А.

Ток через ветвь с сопротивлением $R_{23678}$ (этот же ток течет через $R_2$ и $R_8$):$ I_2 = \frac{U_{CB}}{R_{23678}} = \frac{546/17}{19,5} = \frac{546/17}{39/2} = \frac{546 \cdot 2}{17 \cdot 39} = \frac{14 \cdot 39 \cdot 2}{17 \cdot 39} = \frac{28}{17} $ А $ \approx 1,65 $ А.
Следовательно, $I_8 = I_2 = \frac{28}{17}$ А.
Проверка: $I_2 + I_5 = \frac{28}{17} + \frac{91}{34} = \frac{56}{34} + \frac{91}{34} = \frac{147}{34} = I_1$. Расчеты верны.

8. Ток $I_2$ разветвляется на токи $I_3, I_6, I_7$. Для их нахождения найдем напряжение $U_{DE}$ на параллельном участке с резисторами $R_3, R_6, R_7$:$ U_{DE} = I_2 \cdot R_{367} = \frac{28}{17} \cdot 1,5 = \frac{28}{17} \cdot \frac{3}{2} = \frac{14 \cdot 3}{17} = \frac{42}{17} $ В.

9. Находим токи $I_3, I_6, I_7$:$ I_3 = \frac{U_{DE}}{R_3} = \frac{42/17}{3} = \frac{14}{17} $ А $ \approx 0,82 $ А.
$ I_6 = \frac{U_{DE}}{R_6} = \frac{42/17}{6} = \frac{7}{17} $ А $ \approx 0,41 $ А.
$ I_7 = \frac{U_{DE}}{R_7} = \frac{42/17}{6} = \frac{7}{17} $ А $ \approx 0,41 $ А.
Проверка: $I_3 + I_6 + I_7 = \frac{14}{17} + \frac{7}{17} + \frac{7}{17} = \frac{28}{17} = I_2$. Расчеты верны.

Ответ:

Ток через резистор $R_1$: $ I_1 = \frac{147}{34} $ А $ \approx 4,32 $ А.
Ток через резистор $R_2$: $ I_2 = \frac{28}{17} $ А $ \approx 1,65 $ А.
Ток через резистор $R_3$: $ I_3 = \frac{14}{17} $ А $ \approx 0,82 $ А.
Ток через резистор $R_4$: $ I_4 = 3,5 $ А.
Ток через резистор $R_5$: $ I_5 = \frac{91}{34} $ А $ \approx 2,68 $ А.
Ток через резистор $R_6$: $ I_6 = \frac{7}{17} $ А $ \approx 0,41 $ А.
Ток через резистор $R_7$: $ I_7 = \frac{7}{17} $ А $ \approx 0,41 $ А.
Ток через резистор $R_8$: $ I_8 = \frac{28}{17} $ А $ \approx 1,65 $ А.