Номер 13.29, страница 84 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.29, страница 84.

Условие.

13.29. Гальванометр с шунтом соединен последовательно с резистором, сопротивление которого $R_{\text{Д}}$ (см. рисунок), и используется как вольтметр. Как нужно изменить $R_{\text{Д}}$, чтобы увеличить цену деления вольтметра в $\text{n}$ раз? Сопротивление гальванометра $R_{\text{Г}}$, шунта $R_{\text{Ш}}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сопротивление гальванометра: $R_г$

Сопротивление шунта: $R_{ш}$

Начальное добавочное сопротивление: $R_д$

Коэффициент увеличения цены деления: $\text{n}$

Найти:

Как нужно изменить сопротивление $R_д$?

Решение:

Схема, представленная на рисунке, является вольтметром. Он состоит из измерительного механизма (гальванометр с шунтом) и последовательно соединенного с ним добавочного резистора $R_д$.

Цена деления вольтметра пропорциональна максимальному напряжению $U_{max}$, которое он может измерить. Увеличение цены деления в $\text{n}$ раз означает, что новый предел измерения вольтметра $U_2$ должен быть в $\text{n}$ раз больше первоначального предела $U_1$: $U_2 = n U_1$.

Максимальное измеряемое напряжение достигается, когда через гальванометр течет ток полного отклонения $I_г$. Этот ток является характеристикой гальванометра и не меняется при изменении добавочного сопротивления.

Найдем общее сопротивление параллельно соединенных гальванометра и шунта. Обозначим его $R_{гш}$:

$R_{гш} = \frac{R_г \cdot R_{ш}}{R_г + R_{ш}}$

Полное сопротивление вольтметра в начальном состоянии равно:

$R_{V1} = R_{гш} + R_д$

При токе полного отклонения $I_г$ через гальванометр, полный ток, протекающий через вольтметр, $I_V$, является постоянным для данного измерительного механизма (гальванометр + шунт) и создает падение напряжения на всем вольтметре.

Максимальное напряжение, которое может измерить вольтметр в начальном состоянии, по закону Ома для всей цепи вольтметра равно:

$U_1 = I_V \cdot R_{V1} = I_V (R_{гш} + R_д)$

Чтобы увеличить предел измерения в $\text{n}$ раз, необходимо изменить добавочное сопротивление на новое значение $R'_д$. Новое полное сопротивление вольтметра будет:

$R_{V2} = R_{гш} + R'_д$

Новый предел измерения будет:

$U_2 = I_V \cdot R_{V2} = I_V (R_{гш} + R'_д)$

Согласно условию, $U_2 = n U_1$. Подставим выражения для напряжений:

$I_V (R_{гш} + R'_д) = n \cdot I_V (R_{гш} + R_д)$

Сократим $I_V$:

$R_{гш} + R'_д = n (R_{гш} + R_д)$

Вопрос задачи — "как нужно изменить $R_д$". Найдем, на какую величину $\Delta R_д$ нужно изменить начальное сопротивление $R_д$. Новое сопротивление будет $R'_д = R_д + \Delta R_д$.

$R_{гш} + R_д + \Delta R_д = n (R_{гш} + R_д)$

Выразим $\Delta R_д$:

$\Delta R_д = n (R_{гш} + R_д) - (R_{гш} + R_д)$

$\Delta R_д = (n - 1) (R_{гш} + R_д)$

Подставим выражение для $R_{гш}$:

$\Delta R_д = (n-1) \left(\frac{R_г R_{ш}}{R_г + R_{ш}} + R_д\right)$

Поскольку по условию цена деления увеличивается, то $n > 1$, и, следовательно, $\Delta R_д > 0$. Это означает, что добавочное сопротивление $R_д$ необходимо увеличить.

Ответ: Необходимо увеличить добавочное сопротивление $R_д$ на величину $\Delta R_д = (n-1) \left(\frac{R_г R_{ш}}{R_г + R_{ш}} + R_д\right)$.