Номер 13.23, страница 83 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.23, страница 83.

Условие.

13.23*. Найдите сопротивление $\text{R}$ цепи (см. рисунок) между точками А и В, если сопротивление каждого звена $R_0$.

К задаче 13.23

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сопротивление каждого звена цепи: $R_0$

Найти:

Общее сопротивление цепи между точками А и В: $\text{R}$

Решение:

Данная электрическая цепь обладает высокой степенью симметрии. Для нахождения эквивалентного сопротивления воспользуемся методом эквипотенциальных узлов, который основан на симметрии схемы.

Схема симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через точки А и В, а также относительно горизонтальной оси, проходящей через средний ряд узлов.

Рассмотрим горизонтальную ось симметрии. Если приложить напряжение между точками А и В, то из-за симметрии потенциалы всех узлов, лежащих на этой горизонтальной оси, будут одинаковы. Обозначим узлы в среднем ряду слева направо как E, F, G. Тогда их потенциалы равны: $V_E = V_F = V_G$.

Поскольку между точками E и F, а также F и G нет разности потенциалов, ток через резисторы, соединяющие эти точки, протекать не будет. Следовательно, эти резисторы можно мысленно удалить из схемы, и это не повлияет на общее сопротивление цепи между точками А и В.

После удаления горизонтальных резисторов в среднем ряду схема разделяется на две идентичные части: верхнюю (от точки А до линии E-F-G) и нижнюю (от линии E-F-G до точки В). Эти две части соединены последовательно, так как ток должен пройти сначала через верхнюю часть, а затем через нижнюю. Точки E, F, G теперь можно рассматривать как единый узел с общим потенциалом.

Общее сопротивление цепи $\text{R}$ равно сумме сопротивлений верхней ($R_{верх}$) и нижней ($R_{ниж}$) частей:

$R = R_{верх} + R_{ниж}$

Из-за симметрии $R_{верх} = R_{ниж}$, поэтому $R = 2 \cdot R_{верх}$.

Теперь вычислим сопротивление $R_{верх}$. Это сопротивление между точкой А и общим узлом (E, F, G). В верхней части также есть симметрия относительно вертикальной оси. Обозначим узлы между А и средним рядом как C (слева) и D (справа). Из-за симметрии их потенциалы равны ($V_C = V_D$), поэтому их можно объединить в один узел (C,D).

1. Сопротивление между точкой А и объединенным узлом (C,D) состоит из двух параллельно соединенных резисторов (AC и AD) сопротивлением $R_0$ каждый. Эквивалентное сопротивление этого участка:

$R_{А-(CD)} = \frac{R_0}{2}$

2. Сопротивление между объединенным узлом (C,D) и объединенным узлом (E,F,G) состоит из четырех параллельно соединенных резисторов (CE, CF, DF, DG) сопротивлением $R_0$ каждый. Эквивалентное сопротивление этого участка:

$R_{(CD)-(EFG)} = \frac{R_0}{4}$

Эти два участка соединены последовательно. Таким образом, сопротивление всей верхней части цепи равно:

$R_{верх} = R_{А-(CD)} + R_{(CD)-(EFG)} = \frac{R_0}{2} + \frac{R_0}{4} = \frac{2R_0 + R_0}{4} = \frac{3R_0}{4}$

Теперь можем найти полное сопротивление цепи:

$R = 2 \cdot R_{верх} = 2 \cdot \frac{3R_0}{4} = \frac{3R_0}{2}$

Ответ: $R = \frac{3}{2}R_0$.