Номер 13.24, страница 83 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.24, страница 83.

Условие.

13.24** Найдите сопротивление $\text{R}$ бесконечной цепи, показанной на рисунке.

К задаче $13.24$

Решение.

Решение 2.

Дано:

Бесконечная цепь, состоящая из повторяющихся звеньев с резисторами $R_1$, $R_2$, $R_3$.

Найти:

Эквивалентное сопротивление цепи $\text{R}$.

Решение:

Обозначим искомое сопротивление бесконечной цепи через $\text{R}$. Поскольку цепь является бесконечной, отсоединение от нее одного звена не изменит ее общего сопротивления. Это означает, что сопротивление цепи, начиная с узлов $A_1$ и $B_1$ и уходящей в бесконечность, также равно $\text{R}$.

Таким образом, всю цепь можно представить как первое звено, к которому подключена нагрузка с сопротивлением $\text{R}$. Первое звено состоит из последовательно соединенных резисторов $R_1$, $R_3$ и участка между узлами $A_1$ и $B_1$.

Участок между узлами $A_1$ и $B_1$ состоит из параллельно соединенных резистора $R_2$ и оставшейся части бесконечной цепи (с сопротивлением $\text{R}$). Эквивалентное сопротивление этого участка $R_{A_1B_1}$ равно:

$R_{A_1B_1} = \frac{R_2 \cdot R}{R_2 + R}$

Общее сопротивление $\text{R}$ всей цепи можно найти как сумму сопротивлений $R_1$, $R_3$ и $R_{A_1B_1}$:

$R = R_1 + R_3 + \frac{R_2 R}{R_2 + R}$

Для нахождения $\text{R}$ решим полученное уравнение. Умножим обе части на $(R_2 + R)$:

$R(R_2 + R) = (R_1 + R_3)(R_2 + R) + R_2 R$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$R R_2 + R^2 = R_1 R_2 + R_1 R + R_3 R_2 + R_3 R + R_2 R$

Сократим слагаемое $R R_2$ с обеих сторон:

$R^2 = R_1 R_2 + R_1 R + R_3 R_2 + R_3 R$

Сгруппируем члены и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $aR^2 + bR + c = 0$:

$R^2 - (R_1 + R_3)R - (R_1 + R_3)R_2 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $\text{R}$ по стандартной формуле:

$R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Подставляя наши коэффициенты $a=1$, $b = -(R_1 + R_3)$, $c = -(R_1 + R_3)R_2$, получаем:

$R = \frac{(R_1 + R_3) \pm \sqrt{(-(R_1 + R_3))^2 - 4(1)(-(R_1 + R_3)R_2)}}{2}$

$R = \frac{(R_1 + R_3) \pm \sqrt{(R_1 + R_3)^2 + 4R_2(R_1 + R_3)}}{2}$

Так как сопротивление цепи не может быть отрицательной величиной ($R > 0$), мы должны выбрать корень со знаком "плюс", поскольку корень из дискриминанта всегда будет больше, чем $(R_1 + R_3)$.

Ответ: $R = \frac{R_1 + R_3 + \sqrt{(R_1 + R_3)^2 + 4R_2(R_1 + R_3)}}{2}$