Номер 13.25, страница 83 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.25, страница 83.

Условие.

13.25*. Сопротивление цепи измеряется между точка-ми $\text{A}$ и $\text{B}$ (см. рисунок). Какое сопротивление $R_x$ необходимо включить между точками $\text{C}$ и $\text{D}$, чтобы сопротивление всей цепи не зависело от числа ячеек в ней?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Электрическая цепь, состоящая из n одинаковых ячеек, как показано на рисунке.
Сопротивление каждого резистора в цепи равно R.

Найти:

Сопротивление $R_x$, которое необходимо включить между точками C и D, чтобы общее сопротивление цепи между точками A и B, $R_{AB}$, не зависело от числа ячеек n.

Решение:

Условие, при котором входное сопротивление цепи не зависит от числа ячеек, заключается в том, что цепь должна быть нагружена на свое характеристическое (волновое) сопротивление. Это сопротивление равно входному сопротивлению такой же цепи бесконечной длины. Обозначим характеристическое сопротивление как $R_0$. Таким образом, искомое сопротивление $R_x$ должно быть равно $R_0$.

$R_x = R_0$

Для нахождения $R_0$ воспользуемся тем фактом, что если к бесконечной цепи с входным сопротивлением $R_0$ добавить спереди еще одну ячейку, то входное сопротивление получившейся цепи останется равным $R_0$.

Из рисунка видно, что каждая ячейка состоит из двух последовательно включенных резисторов сопротивлением $\text{R}$ (в верхней и нижней ветвях) и одного шунтирующего резистора сопротивлением $\text{R}$.

Входное сопротивление $R_0$ всей цепи можно представить как сумму сопротивлений последовательных резисторов первой ячейки ($R+R=2R$) и сопротивления остальной части цепи. Остальная часть цепи состоит из шунтирующего резистора $\text{R}$, соединенного параллельно с такой же бесконечной цепью, входное сопротивление которой также равно $R_0$.

Таким образом, для $R_0$ можно записать следующее уравнение:

$R_0 = R + R + \frac{R \cdot R_0}{R + R_0} = 2R + \frac{R R_0}{R + R_0}$

Умножим обе части уравнения на $(R + R_0)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$R_0 (R + R_0) = 2R(R + R_0) + R R_0$

$R_0 R + R_0^2 = 2R^2 + 2R R_0 + R R_0$

$R_0^2 + R_0 R = 2R^2 + 3R_0 R$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$R_0^2 - 2R R_0 - 2R^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $R_0$, используя формулу для нахождения корней:

$R_0 = \frac{-(-2R) \pm \sqrt{(-2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2R^2)}}{2 \cdot 1}$

$R_0 = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2} = \frac{2R \pm \sqrt{12R^2}}{2} = \frac{2R \pm 2\sqrt{3}R}{2}$

$R_0 = R(1 \pm \sqrt{3})$

Так как сопротивление является физической величиной и не может быть отрицательным, мы должны выбрать корень со знаком "плюс":

$R_0 = R(1 + \sqrt{3})$

Следовательно, искомое сопротивление нагрузки $R_x$ равно найденному характеристическому сопротивлению $R_0$.

Ответ: $R_x = R(1 + \sqrt{3})$.