Номер 13.22, страница 82 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.22, страница 82.

Условие.

13.22*. Найдите сопротивление $\text{R}$ цепи (см. рисунок) между точками $\text{A}$ и $\text{B}$, если сопротивление каждого звена $R_0$.

К задаче 13.22

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сопротивление каждого звена: $R_0$

Схема цепи, показанная на рисунке.

Найти:

Общее сопротивление цепи $\text{R}$ между точками А и В.

Решение:

Для решения задачи проанализируем электрическую схему, представленную на рисунке. Обозначим узлы схемы: верхний узел как А, нижний как В, левый узел в средней горизонтали как С, правый — как D, а центральный узел — как Е. Схема состоит из 8 одинаковых резисторов сопротивлением $R_0$. Исходя из рисунка, резисторы соединяют следующие пары узлов: (A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E), (C,E) и (D,E).

Данная схема обладает высокой степенью симметрии. Воспользуемся этим свойством для нахождения эквивалентного сопротивления.

Схема симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через точки А и В. Это означает, что при подключении источника напряжения к точкам А и В потенциалы симметрично расположенных точек С и D будут одинаковы: $V_C = V_D$.

Схема также симметрична относительно горизонтальной плоскости, проходящей через точки C, E и D. Если приложить напряжение $\text{U}$ между точками А и В (пусть потенциал в точке А будет $V_A = U$, а в точке В $V_B = 0$), то потенциал любой точки, лежащей в этой плоскости симметрии, будет равен среднему арифметическому потенциалов точек А и В. Следовательно, потенциалы точек C, E и D равны:

$V_C = V_D = V_E = \frac{V_A + V_B}{2} = \frac{U + 0}{2} = \frac{U}{2}$

Это означает, что точки C, D и E являются эквипотенциальными. Ток через резисторы, соединяющие эти точки (резисторы CE и DE), протекать не будет, так как разность потенциалов на их концах равна нулю.

Теперь найдем общий ток $\text{I}$, входящий в цепь в точке А. Этот ток разветвляется на три резистора, подключенных к точке А: AC, AD и AE.

Ток через резистор AC: $I_{AC} = \frac{V_A - V_C}{R_0} = \frac{U - U/2}{R_0} = \frac{U}{2R_0}$

Ток через резистор AD: $I_{AD} = \frac{V_A - V_D}{R_0} = \frac{U - U/2}{R_0} = \frac{U}{2R_0}$

Ток через резистор AE: $I_{AE} = \frac{V_A - V_E}{R_0} = \frac{U - U/2}{R_0} = \frac{U}{2R_0}$

Общий ток $\text{I}$, входящий в узел А, равен сумме этих токов:

$I = I_{AC} + I_{AD} + I_{AE} = \frac{U}{2R_0} + \frac{U}{2R_0} + \frac{U}{2R_0} = \frac{3U}{2R_0}$

Эквивалентное сопротивление цепи $\text{R}$ между точками А и В по закону Ома равно:

$R = \frac{U}{I}$

Подставим найденное выражение для тока $\text{I}$:

$R = \frac{U}{\frac{3U}{2R_0}} = \frac{2R_0}{3}$

Ответ: $R = \frac{2}{3}R_0$.