Номер 13.17, страница 82 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.17, страница 82.

Условие.

13.17*. Имеется $\text{n}$ точек, соединенных попарно резисторами. Каково сопротивление $\text{R}$ между любыми двумя из этих точек, если сопротивление каждого резистора $R_0$?

Решение.

Решение 2.

Дано

Количество точек: $\text{n}$

Сопротивление каждого резистора: $R_0$

Найти:

Эквивалентное сопротивление между любыми двумя точками: $\text{R}$

Решение

Рассмотрим систему из $\text{n}$ точек, где каждая точка соединена с каждой другой точкой резистором с сопротивлением $R_0$. Эта электрическая цепь представляет собой полный граф $K_n$, ребра которого являются резисторами.

Для нахождения эквивалентного сопротивления $\text{R}$ выберем две произвольные точки, назовем их A и B. Подключим к этим точкам источник тока так, чтобы в точку A втекал ток $\text{I}$, а из точки B вытекал такой же ток $\text{I}$.

В силу симметрии задачи, все остальные $n-2$ точки (обозначим их $C_1, C_2, \ldots, C_{n-2}$) эквивалентны по своему положению относительно входа (A) и выхода (B) тока. Это означает, что все эти $n-2$ точки должны иметь одинаковый электрический потенциал. Обозначим этот потенциал как $\phi_C$.

Для удобства расчетов примем потенциал точки B равным нулю, то есть $\phi_B = 0$. Потенциал точки A обозначим как $\phi_A$. Тогда искомое эквивалентное сопротивление будет равно $R = \frac{\phi_A - \phi_B}{I} = \frac{\phi_A}{I}$.

Рассмотрим один из узлов $C_k$ (где $\text{k}$ от 1 до $n-2$). По первому правилу Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. В узел $C_k$ втекает ток из точки A, а также из других $n-3$ точек $C_j$. Из узла $C_k$ вытекает ток в точку B и в другие $n-3$ точки $C_j$.

Поскольку потенциалы всех точек $\text{C}$ одинаковы ($\phi_{C_k} = \phi_{C_j} = \phi_C$), ток между любыми двумя из этих точек отсутствует. Следовательно, весь ток, который поступает в узел $C_k$ из точки A, должен полностью уходить в точку B. Запишем это равенство токов:

$I_{AC_k} = I_{C_kB}$

Используя закон Ома для участка цепи, получаем:

$\frac{\phi_A - \phi_C}{R_0} = \frac{\phi_C - \phi_B}{R_0}$

Подставив $\phi_B = 0$, получим:

$\frac{\phi_A - \phi_C}{R_0} = \frac{\phi_C}{R_0}$

$\phi_A - \phi_C = \phi_C \implies \phi_A = 2\phi_C \implies \phi_C = \frac{\phi_A}{2}$

Теперь применим первое правило Кирхгофа для узла A. Втекающий ток $\text{I}$ равен сумме токов, растекающихся по всем $n-1$ резисторам, подключенным к точке A:

$I = I_{AB} + \sum_{k=1}^{n-2} I_{AC_k}$

Ток, текущий напрямую из A в B: $I_{AB} = \frac{\phi_A - \phi_B}{R_0} = \frac{\phi_A}{R_0}$.

Ток, текущий из A в каждую из $n-2$ точек $C_k$: $I_{AC_k} = \frac{\phi_A - \phi_C}{R_0}$.

Суммарный ток:

$I = \frac{\phi_A}{R_0} + (n-2) \frac{\phi_A - \phi_C}{R_0}$

Подставим в это уравнение найденное ранее соотношение $\phi_C = \frac{\phi_A}{2}$:

$I = \frac{\phi_A}{R_0} + (n-2) \frac{\phi_A - \phi_A/2}{R_0} = \frac{\phi_A}{R_0} + (n-2) \frac{\phi_A/2}{R_0}$

Вынесем общий множитель $\frac{\phi_A}{R_0}$:

$I = \frac{\phi_A}{R_0} \left(1 + \frac{n-2}{2}\right) = \frac{\phi_A}{R_0} \left(\frac{2 + n - 2}{2}\right) = \frac{\phi_A}{R_0} \frac{n}{2}$

Теперь мы можем найти эквивалентное сопротивление $\text{R}$:

$R = \frac{\phi_A}{I}$

Из предыдущего выражения, $\frac{\phi_A}{I} = R_0 \frac{2}{n}$.

Следовательно, искомое сопротивление равно:

$R = \frac{2R_0}{n}$

Ответ: $R = \frac{2R_0}{n}$