Номер 13.19, страница 82 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.19, страница 82.

Условие.

13.19*. Найдите сопротивление $\text{R}$ проволочного куба (см. рисунок) между точками $A_1$ и $\text{C}$. Сопротивление каждого ребра $R_0$.

К задачам 13.19 – 13.21

Решение.

Решение 2.

Дано:

Проволочный куб, состоящий из 12 ребер.

Сопротивление каждого ребра: $R_0$.

Точки подключения: $A_1$ и $\text{C}$.

Найти:

Общее сопротивление $\text{R}$ между точками $A_1$ и $\text{C}$.

Решение:

Для нахождения эквивалентного сопротивления воспользуемся методом симметрии. Точки $A_1$ и $\text{C}$ являются противоположными вершинами главной диагонали куба. Подключим к этим точкам источник напряжения.

Из-за симметрии куба относительно этой диагонали, все вершины, находящиеся на одинаковом "расстоянии" (измеряемом количеством ребер) от точки входа $A_1$, будут иметь одинаковый потенциал.

1. Вершины, смежные с точкой $A_1$ (на расстоянии одного ребра), это $\text{A}$, $B_1$ и $D_1$. Так как пути $A_1 \rightarrow A$, $A_1 \rightarrow B_1$ и $A_1 \rightarrow D_1$ абсолютно симметричны, потенциалы в точках $\text{A}$, $B_1$ и $D_1$ будут одинаковы. Эти три точки можно объединить в один узел.

2. Аналогично, рассмотрим вершины, смежные с точкой $\text{C}$: это $\text{B}$, $\text{D}$ и $C_1$. Ток сходится в точку $\text{C}$ из этих трех вершин. Из-за симметрии, потенциалы в точках $\text{B}$, $\text{D}$ и $C_1$ также будут одинаковы. Эти три точки можно объединить во второй узел.

Теперь мы можем представить исходную сложную схему в виде более простой эквивалентной схемы, состоящей из трех участков, соединенных последовательно.

Участок 1: Между точкой $A_1$ и первым узлом (точки $A, B_1, D_1$) находятся три резистора сопротивлением $R_0$ каждый (ребра $A_1A, A_1B_1, A_1D_1$), соединенные параллельно. Их общее сопротивление $R_{I}$ равно:

$R_{I} = \frac{R_0}{3}$

Участок 2: Между первым узлом ($A, B_1, D_1$) и вторым узлом ($B, D, C_1$) находятся шесть резисторов сопротивлением $R_0$ каждый (ребра $AB, AD, B_1B, B_1C_1, D_1D, D_1C_1$), соединенные параллельно. Их общее сопротивление $R_{II}$ равно:

$R_{II} = \frac{R_0}{6}$

Участок 3: Между вторым узлом ($B, D, C_1$) и точкой $\text{C}$ находятся три резистора сопротивлением $R_0$ каждый (ребра $BC, DC, C_1C$), соединенные параллельно. Их общее сопротивление $R_{III}$ равно:

$R_{III} = \frac{R_0}{3}$

Общее сопротивление $\text{R}$ всей цепи равно сумме сопротивлений этих трех последовательно соединенных участков:

$R = R_{I} + R_{II} + R_{III} = \frac{R_0}{3} + \frac{R_0}{6} + \frac{R_0}{3}$

Приводя дроби к общему знаменателю 6, получаем:

$R = \frac{2R_0}{6} + \frac{R_0}{6} + \frac{2R_0}{6} = \frac{2R_0 + R_0 + 2R_0}{6} = \frac{5R_0}{6}$

Ответ: $R = \frac{5}{6}R_0$.