Номер 13.21, страница 82 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.21, страница 82.

Условие.

13.21*. Найдите сопротивление $\text{R}$ проволочного куба (см. рисунок) между точками $\text{A}$ и $A_1$. Сопротивление каждого ребра $R_0$.

К задачам 13.19 – 13.21

Решение.

Решение 2.

Дано:

Проволочный куб, состоящий из 12 одинаковых сопротивлений.

Сопротивление каждого ребра: $R_0$.

Точки подключения: A и A₁ (соседние вершины).

Найти:

Общее сопротивление куба $\text{R}$ между точками A и A₁.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся симметрией куба. Подключим источник напряжения к вершинам A и A₁. Плоскость, проходящая через вершины A, C, C₁, A₁, является плоскостью симметрии для данной схемы. В силу симметрии, потенциалы точек, расположенных симметрично относительно этой плоскости, будут равны.

Таким образом, потенциалы вершин B и D равны: $\phi_B = \phi_D$.

Аналогично, потенциалы вершин B₁ и D₁ равны: $\phi_{B_1} = \phi_{D_1}$.

Поскольку точки B и D имеют одинаковый потенциал, их можно соединить между собой, и это не изменит распределение токов в цепи. То же самое справедливо для точек B₁ и D₁. Это позволяет нам упростить схему, мысленно объединив соответствующие узлы.

После объединения узлов B и D в один узел (обозначим его BD), а узлов B₁ и D₁ в другой (B₁D₁), схема преобразуется следующим образом:

1. Резисторы AB и AD оказываются соединенными параллельно между узлами A и BD. Их общее сопротивление:

$R_{A,BD} = \frac{R_0 \cdot R_0}{R_0 + R_0} = \frac{R_0}{2}$

2. Резисторы B₁A₁ и D₁A₁ соединены параллельно между узлами B₁D₁ и A₁. Их общее сопротивление:

$R_{B_1D_1,A_1} = \frac{R_0}{2}$

3. Резисторы BB₁ и DD₁ соединены параллельно между узлами BD и B₁D₁.

$R_{BD,B_1D_1}^{(1)} = \frac{R_0}{2}$

4. Резисторы BC и DC соединены параллельно между узлами BD и C.

$R_{BD,C} = \frac{R_0}{2}$

5. Резисторы B₁C₁ и D₁C₁ соединены параллельно между узлами B₁D₁ и C₁.

$R_{B_1D_1,C_1} = \frac{R_0}{2}$

Резистор AA₁ (сопротивлением $R_0$) подключен параллельно всей остальной цепи между точками A и A₁.

Рассмотрим сопротивление участка цепи между узлами BD и B₁D₁. Он состоит из двух параллельных ветвей:

• Прямое соединение через объединенные резисторы BB₁ и DD₁ с сопротивлением $R_{BD,B_1D_1}^{(1)} = R_0/2$.
• Обходной путь через вершины C и C₁, который представляет собой последовательное соединение участков BD-C, C-C₁ и C₁-B₁D₁. Сопротивление этого пути:

$R_{path2} = R_{BD,C} + R_{CC_1} + R_{C_1,B_1D_1} = \frac{R_0}{2} + R_0 + \frac{R_0}{2} = 2R_0$

Общее сопротивление участка между BD и B₁D₁ равно:

$\frac{1}{R_{BD,B_1D_1}} = \frac{1}{R_{BD,B_1D_1}^{(1)}} + \frac{1}{R_{path2}} = \frac{1}{R_0/2} + \frac{1}{2R_0} = \frac{2}{R_0} + \frac{1}{2R_0} = \frac{4+1}{2R_0} = \frac{5}{2R_0}$

$R_{BD,B_1D_1} = \frac{2R_0}{5}$

Теперь найдем сопротивление всей цепи, за исключением прямого ребра AA₁. Эта часть цепи (назовем ее $R_{branch}$) представляет собой последовательное соединение трех участков: A-BD, BD-B₁D₁ и B₁D₁-A₁.

$R_{branch} = R_{A,BD} + R_{BD,B_1D_1} + R_{B_1D_1,A_1} = \frac{R_0}{2} + \frac{2R_0}{5} + \frac{R_0}{2} = R_0 + \frac{2R_0}{5} = \frac{7R_0}{5}$

Полное сопротивление $\text{R}$ между точками A и A₁ представляет собой параллельное соединение ребра AA₁ (сопротивлением $R_0$) и остальной части схемы ($R_{branch}$).

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_{branch}} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{7R_0/5} = \frac{1}{R_0} + \frac{5}{7R_0}$

Приводя к общему знаменателю:

$\frac{1}{R} = \frac{7}{7R_0} + \frac{5}{7R_0} = \frac{12}{7R_0}$

Отсюда находим искомое сопротивление:

$R = \frac{7}{12}R_0$

Ответ: $R = \frac{7}{12}R_0$.