Номер 13.10, страница 80 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.10, страница 80.

Условие.

13.10. Из одинаковых резисторов по 10 Ом требуется составить цепь сопротивлением 6 Ом. Какое наименьшее количество резисторов для этого потребуется? Начертите схему цепи.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сопротивление одного резистора $R_0 = 10 \text{ Ом}$
Требуемое общее сопротивление цепи $R_{общ} = 6 \text{ Ом}$

Найти:

Наименьшее количество резисторов $n_{min}$ - ?
Схема цепи - ?

Решение:

Поскольку требуемое общее сопротивление $R_{общ} = 6 \text{ Ом}$ меньше сопротивления одного резистора $R_0 = 10 \text{ Ом}$, в схеме обязательно должны присутствовать параллельно соединенные резисторы или участки цепи. Для нахождения наименьшего количества резисторов, рассмотрим последовательно варианты с 1, 2, 3 и т.д. резисторами.

Какое наименьшее количество резисторов для этого потребуется?

Проверим возможность составления цепи с сопротивлением 6 Ом из 2 и 3 резисторов.
- При использовании 2 резисторов можно получить сопротивления $R_0+R_0 = 20 \text{ Ом}$ (последовательно) и $R_0/2 = 5 \text{ Ом}$ (параллельно). Ни один из вариантов не подходит.
- При использовании 3 резисторов возможны следующие комбинации: все последовательно ($3R_0 = 30 \text{ Ом}$), все параллельно ($R_0/3 = 10/3 \approx 3.33 \text{ Ом}$), один последовательно с двумя параллельными ($R_0 + R_0/2 = 15 \text{ Ом}$), один параллельно с двумя последовательными ($\frac{2R_0 \cdot R_0}{2R_0 + R_0} = 2R_0/3 = 20/3 \approx 6.67 \text{ Ом}$). Ни одна из комбинаций не дает 6 Ом.

Проверим возможность для 4 резисторов. Представим цепь как параллельное соединение двух участков с сопротивлениями $R_A$ и $R_B$. Тогда общее сопротивление вычисляется по формуле: $\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B}$.
Пусть участок $R_A$ состоит из одного резистора, т.е. $R_A = R_0 = 10 \text{ Ом}$. Найдем необходимое сопротивление $R_B$: $\frac{1}{6} = \frac{1}{10} + \frac{1}{R_B}$
$\frac{1}{R_B} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5 - 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$
Следовательно, $R_B = 15 \text{ Ом}$.

Участок с сопротивлением 15 Ом можно составить из оставшихся 3 резисторов, соединив один из них последовательно с двумя другими, соединенными параллельно: $R_B = R_0 + \frac{R_0 \cdot R_0}{R_0 + R_0} = 10 + \frac{10}{2} = 15 \text{ Ом}$.
Таким образом, мы смогли составить требуемую цепь из $1+3=4$ резисторов. Так как из 2 и 3 резисторов это сделать невозможно, 4 является наименьшим количеством.

Ответ: Наименьшее количество резисторов равно 4.

Начертите схему цепи.

Основываясь на проведенных расчетах, схема цепи состоит из одного резистора ($R_A$), подключенного параллельно к блоку из трех резисторов ($R_B$). Блок $R_B$ состоит из одного резистора, соединенного последовательно с параллельной парой из двух других резисторов.

Ответ: Схема цепи приведена на рисунке выше.