Номер 13.8, страница 80 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.8, страница 80.

Условие.

13.8. Какова максимально возможная величина сопротивления между двумя точками проволочного кольца (см. задачу 13.7)?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Проволочное кольцо, полное сопротивление которого $R_0$.

Найти:

$R_{max}$ — максимально возможное сопротивление между двумя точками на кольце.

Решение:

Пусть общее сопротивление проволочного кольца равно $R_0$. Выберем на кольце две произвольные точки, которые разделяют кольцо на две дуги. При подключении внешней цепи к этим двум точкам, ток будет протекать по обеим дугам одновременно. Таким образом, эти две части кольца представляют собой два резистора, соединенных параллельно.

Пусть сопротивление одной дуги равно $R_1$, а другой — $R_2$. Поскольку обе дуги вместе составляют все кольцо, сумма их сопротивлений равна общему сопротивлению кольца:

$R_1 + R_2 = R_0$

Отсюда можно выразить сопротивление второй дуги через первую:

$R_2 = R_0 - R_1$

Эквивалентное сопротивление $\text{R}$ между двумя точками для параллельно соединенных проводников $R_1$ и $R_2$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим в эту формулу известные нам выражения $R_1 + R_2 = R_0$ и $R_2 = R_0 - R_1$:

$R(R_1) = \frac{R_1 (R_0 - R_1)}{R_0}$

Чтобы найти максимально возможное сопротивление, нам нужно найти максимум функции $R(R_1)$, где переменная $R_1$ может принимать значения от 0 до $R_0$. Зависимость $\text{R}$ от $R_1$ является квадратичной ($R(R_1) = -\frac{1}{R_0}R_1^2 + R_1$), график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине.

Для нахождения точки максимума, найдем производную функции $R(R_1)$ по $R_1$ и приравняем ее к нулю:

$\frac{dR}{dR_1} = \frac{d}{dR_1} \left( \frac{R_1 R_0 - R_1^2}{R_0} \right) = \frac{1}{R_0} (R_0 - 2R_1)$

Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{R_0} (R_0 - 2R_1) = 0$

$R_0 - 2R_1 = 0$

$R_1 = \frac{R_0}{2}$

Следовательно, сопротивление будет максимальным, когда точки подключения делят кольцо на две равные части, то есть когда $R_1 = R_2 = R_0/2$. Это соответствует двум диаметрально противоположным точкам на кольце.

Теперь найдем это максимальное значение сопротивления $R_{max}$, подставив $R_1 = R_0/2$ в нашу формулу для $\text{R}$:

$R_{max} = \frac{\frac{R_0}{2} \cdot (R_0 - \frac{R_0}{2})}{R_0} = \frac{(\frac{R_0}{2}) \cdot (\frac{R_0}{2})}{R_0} = \frac{R_0^2 / 4}{R_0} = \frac{R_0}{4}$

Таким образом, максимальное сопротивление между двумя точками кольца составляет четверть от его полного сопротивления.

Ответ: Максимально возможная величина сопротивления между двумя точками проволочного кольца равна $R_{max} = \frac{R_0}{4}$, где $R_0$ — полное сопротивление проволоки, из которой сделано кольцо.