Номер 13.7, страница 80 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.7, страница 80.

Условие.

13.7. Из проволоки сопротивлением $R_0 = 32 \text{ Ом}$ сделано кольцо. В каких точках кольца следует подключить провода, чтобы получить сопротивление $R = 6 \text{ Ом}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$R_0 = 32$ Ом

$R = 6$ Ом

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Точки подключения проводов, т.е. соотношение длин дуг кольца, на которые оно делится точками подключения.

Решение:

При подключении проводов к двум точкам кольца, оно разделяется на две дуги. Эти дуги можно рассматривать как два резистора, подключенных параллельно. Пусть сопротивления этих дуг равны $R_1$ и $R_2$.

Поскольку кольцо сделано из цельной проволоки с общим сопротивлением $R_0$, сумма сопротивлений двух дуг будет равна общему сопротивлению проволоки:

$R_1 + R_2 = R_0 = 32$ Ом

Общее сопротивление $\text{R}$ при параллельном соединении двух резисторов $R_1$ и $R_2$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$6 = \frac{R_1 \cdot R_2}{32}$

Отсюда найдем произведение сопротивлений $R_1$ и $R_2$:

$R_1 \cdot R_2 = 6 \cdot 32 = 192$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $R_1 + R_2 = 32$

2) $R_1 \cdot R_2 = 192$

Выразим $R_2$ из первого уравнения: $R_2 = 32 - R_1$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$R_1 \cdot (32 - R_1) = 192$

$32R_1 - R_1^2 = 192$

$R_1^2 - 32R_1 + 192 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 1024 - 768 = 256$

Корни уравнения:

$R_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + \sqrt{256}}{2} = \frac{32 + 16}{2} = \frac{48}{2} = 24$ Ом

$R_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - \sqrt{256}}{2} = \frac{32 - 16}{2} = \frac{16}{2} = 8$ Ом

Таким образом, сопротивления двух дуг кольца составляют 8 Ом и 24 Ом.

Сопротивление однородной проволоки прямо пропорционально ее длине ($R = \rho \frac{L}{S}$). Следовательно, отношение длин дуг кольца ($L_1/L_2$) будет равно отношению их сопротивлений ($R_1/R_2$).

Найдем это отношение:

$\frac{L_1}{L_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Это означает, что точки подключения должны делить длину окружности кольца в отношении 1:3.

Ответ: Провода следует подключить к таким точкам, которые делят длину окружности кольца в отношении 1:3.