Номер 13.30, страница 84 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.30, страница 84.

Условие.

13.30*. В цепи, представленной на рисунке, гальванометр показывает отсутствие тока. Выразите сопротивление $R_x$ через $R_1, R_2, R_3$.

К задаче 13.30

Решение.

Решение 2.

Дано:

Схема электрической цепи (измерительный мост или мост Уитстона).

Сопротивления $R_1, R_2, R_3, R_x$.

Ток через гальванометр $\text{G}$ равен нулю: $I_G = 0$.

Найти:

$R_x$ - ?

Решение:

Представленная на рисунке схема является мостом Уитстона. Условие, что гальванометр показывает отсутствие тока ($I_G = 0$), означает, что мост сбалансирован. Это возможно только в том случае, когда потенциалы в точках, между которыми включен гальванометр, равны.

Обозначим узлы схемы: пусть верхний узел будет A, нижний B, узел между $R_x$ и $R_1$ – C, а узел между $R_3$ и $R_2$ – D. Гальванометр G подключен между точками C и D. Условие $I_G = 0$ означает, что потенциал точки C равен потенциалу точки D: $\phi_C = \phi_D$.

Поскольку ток через гальванометр не течет, ток, протекающий через резистор $R_x$, полностью протекает через резистор $R_1$. Обозначим этот ток $I_1$.

$I_x = I_1$

Аналогично, ток, протекающий через резистор $R_3$, полностью протекает через резистор $R_2$. Обозначим этот ток $I_2$.

$I_3 = I_2$

Падение напряжения на каждом из резисторов можно выразить по закону Ома:

$U_x = I_1 R_x$

$U_1 = I_1 R_1$

$U_3 = I_2 R_3$

$U_2 = I_2 R_2$

Из условия равенства потенциалов $\phi_C = \phi_D$ следует, что падение напряжения на участке AC равно падению напряжения на участке AD:

$U_{AC} = U_{AD}$

$I_1 R_x = I_2 R_3$ (1)

Также из этого условия следует, что падение напряжения на участке CB равно падению напряжения на участке DB:

$U_{CB} = U_{DB}$

$I_1 R_1 = I_2 R_2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Чтобы избавиться от неизвестных токов $I_1$ и $I_2$, разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{I_1 R_x}{I_1 R_1} = \frac{I_2 R_3}{I_2 R_2}$

Сократив токи $I_1$ и $I_2$, получаем соотношение для сбалансированного моста:

$\frac{R_x}{R_1} = \frac{R_3}{R_2}$

Выразим из этого равенства искомое сопротивление $R_x$:

$R_x = R_1 \frac{R_3}{R_2}$

Ответ: $R_x = \frac{R_1 R_3}{R_2}$.