Номер 12.64, страница 76 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.64, страница 76.

Условие.

12.64*. Две одинаковые металлические квадратные пластины размером $a \times a$ находятся на расстоянии $d \ll a$ друг от друга. Одна из пластин имеет заряд $\text{3Q}$, а другая — заряд $\text{Q}$. Найдите напряжение $\text{U}$ между пластинами. Как распределятся заряды по каждой из пластин?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Две одинаковые металлические квадратные пластины.
Размер пластин: $a \times a$
Площадь пластин: $S = a^2$
Расстояние между пластинами: $\text{d}$
Условие: $d \ll a$
Заряд первой пластины: $Q_1 = 3Q$
Заряд второй пластины: $Q_2 = Q$

Найти:

Напряжение между пластинами $\text{U}$.
Распределение зарядов по поверхностям каждой из пластин.

Решение:

Как распределятся заряды по каждой из пластин?
Каждая проводящая пластина имеет две поверхности: внутреннюю (обращенную к другой пластине) и внешнюю. Заряды $Q_1$ и $Q_2$ перераспределятся по этим четырем поверхностям. Обозначим заряды на поверхностях первой пластины как $q_{1,вн}$ и $q_{1,внеш}$, а на второй — $q_{2,вн}$ и $q_{2,внеш}$.
Из общих принципов электростатики для системы двух параллельных проводящих пластин следует, что поле внутри проводников должно быть равно нулю. Это приводит к следующему распределению зарядов:
1. Заряды на внутренних поверхностях равны по модулю и противоположны по знаку: $q_{1,вн} = -q_{2,вн}$.
2. Заряды на внешних поверхностях равны друг другу и составляют половину от суммарного заряда обеих пластин: $q_{1,внеш} = q_{2,внеш} = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$.

Найдем суммарный заряд системы:
$Q_{общ} = Q_1 + Q_2 = 3Q + Q = 4Q$.

Тогда заряды на внешних поверхностях будут:
$q_{1,внеш} = q_{2,внеш} = \frac{4Q}{2} = 2Q$.

Зная полный заряд каждой пластины, можно найти заряды на их внутренних поверхностях. Для первой пластины должно выполняться условие сохранения заряда:
$Q_1 = q_{1,вн} + q_{1,внеш}$
$3Q = q_{1,вн} + 2Q$
$q_{1,вн} = Q$.

Для второй пластины заряд на внутренней поверхности будет:
$q_{2,вн} = -q_{1,вн} = -Q$.
Проверим сохранение заряда для второй пластины: $Q_2 = q_{2,вн} + q_{2,внеш} = -Q + 2Q = Q$, что соответствует условию.

Ответ: Заряды распределятся следующим образом: на первой пластине (с общим зарядом $\text{3Q}$) заряд на внутренней поверхности будет равен $\text{Q}$, а на внешней — $\text{2Q}$. На второй пластине (с общим зарядом $\text{Q}$) заряд на внутренней поверхности будет равен $-Q$, а на внешней — $\text{2Q}$.

Найдите напряжение U между пластинами.
Напряжение между пластинами создается электрическим полем в пространстве между ними. Это поле является суперпозицией полей от зарядов на всех четырех поверхностях. Однако, так как внешние заряды $q_{1,внеш}$ и $q_{2,внеш}$ равны, создаваемые ими поля в области между пластинами направлены в противоположные стороны и полностью компенсируют друг друга. Таким образом, поле между пластинами определяется только зарядами на их внутренних поверхностях: $q_{1,вн} = Q$ и $q_{2,вн} = -Q$.

Эти заряды на внутренних поверхностях образуют плоский конденсатор. Заряд этого конденсатора $q_{конд}$ равен модулю заряда на одной из обкладок: $q_{конд} = |q_{1,вн}| = Q$.

Емкость такого плоского конденсатора с площадью пластин $S=a^2$ и расстоянием $\text{d}$ между ними равна:
$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{\varepsilon_0 a^2}{d}$
(здесь $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная).

Напряжение на конденсаторе связано с его зарядом и емкостью формулой:
$U = \frac{q_{конд}}{C}$.

Подставив значения заряда и емкости, получим:
$U = \frac{Q}{\frac{\varepsilon_0 a^2}{d}} = \frac{Qd}{\varepsilon_0 a^2}$.

Ответ: Напряжение между пластинами равно $U = \frac{Qd}{\varepsilon_0 a^2}$.