Номер 12.61, страница 75 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.61, страница 75.

Условие.

12.61. Найдите емкости показанных на рис. а-е систем. Все конденсаторы имеют одинаковую емкость $\text{C}$.

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Рис. г

Рис. д

Рис. е

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкость каждого конденсатора: $\text{C}$

Найти:

Эквивалентную емкость каждой системы: $C_а, C_б, C_в, C_г, C_д, C_е$

Решение:

Рис. а

В данной схеме три конденсатора одинаковой емкости $\text{C}$ соединены последовательно. При последовательном соединении $\text{n}$ одинаковых конденсаторов их общая емкость $C_{общ}$ вычисляется по формуле:

$C_{общ} = \frac{C}{n}$

В данном случае $n = 3$, поэтому общая емкость системы равна:

$C_а = \frac{C}{3}$

Ответ: $C_а = \frac{C}{3}$

Рис. б

Обозначим входной и выходной зажимы как A и B, а конденсаторы слева направо как $C_1, C_2, C_3$. Узел между $C_1$ и $C_2$ обозначим X, а узел между $C_2$ и $C_3$ — Y. Схема показывает, что узел Y соединен проводником с входным зажимом A. Это означает, что их потенциалы равны, $V_Y = V_A$.

Рассмотрим конденсаторы $C_1$ и $C_2$. $C_1$ подключен между A и X. $C_2$ подключен между X и Y (то есть между X и A). Узел X является изолированным (не подключен к выходу B). Заряд на изолированных обкладках, подключенных к узлу X, должен быть равен нулю. Заряд на обкладке $C_1$, соединенной с X, равен $-C(V_A - V_X)$. Заряд на обкладке $C_2$, соединенной с X, равен $C(V_X - V_A)$. Сумма этих зарядов равна нулю:

$-C(V_A - V_X) + C(V_X - V_A) = 0$

$C(V_X - V_A) + C(V_X - V_A) = 0 \implies 2C(V_X - V_A) = 0 \implies V_X = V_A$

Поскольку разность потенциалов на конденсаторах $C_1$ и $C_2$ равна нулю, они не заряжаются и не вносят вклада в общую емкость. Заряжается только конденсатор $C_3$, который подключен между узлом Y (т.е. зажимом A) и зажимом B. Таким образом, эквивалентная емкость системы равна емкости одного конденсатора.

Ответ: $C_б = C$

Рис. в

Аналогично предыдущему случаю, обозначим зажимы A и B, конденсаторы $C_1, C_2, C_3$ и узлы X (между $C_1$ и $C_2$) и Y (между $C_2$ и $C_3$). В этой схеме узел X соединен проводником с выходным зажимом B, поэтому $V_X = V_B$.

Конденсатор $C_1$ подключен между A и X (т.е. между A и B). Конденсаторы $C_2$ и $C_3$ подключены к изолированному узлу Y. $C_2$ подключен между X (т.е. B) и Y, а $C_3$ — между Y и B. Запишем условие равенства нулю суммарного заряда на обкладках, подключенных к изолированному узлу Y:

$-C(V_X - V_Y) + C(V_Y - V_B) = 0$

Подставляя $V_X = V_B$, получаем:

$-C(V_B - V_Y) + C(V_Y - V_B) = 0 \implies C(V_Y - V_B) + C(V_Y - V_B) = 0 \implies 2C(V_Y - V_B) = 0 \implies V_Y = V_B$

Разность потенциалов на $C_2$ и $C_3$ равна нулю, они не заряжаются. Заряжается только конденсатор $C_1$, подключенный между A и B. Следовательно, эквивалентная емкость системы равна емкости $C_1$.

Ответ: $C_в = C$

Рис. г

Схема представляет собой параллельное соединение двух ветвей. Верхняя ветвь состоит из трех последовательно соединенных конденсаторов. Ее эквивалентная емкость $C_{верх}$ равна:

$C_{верх} = \frac{C}{3}$

Нижняя ветвь состоит из одного конденсатора емкостью $\text{C}$. При параллельном соединении общая емкость равна сумме емкостей ветвей:

$C_г = C_{верх} + C_{ниж} = \frac{C}{3} + C = \frac{4C}{3}$

Ответ: $C_г = \frac{4C}{3}$

Рис. д

Обозначим левый конденсатор $C_1$, два верхних $C_2$ и $C_3$, нижний $C_4$. Узел между $C_1, C_2, C_4$ обозначим X, узел между $C_2, C_3$ — Y. Узлы X и Y соединены проводником, значит их потенциалы равны, $V_X = V_Y$. Конденсатор $C_2$ подключен между точками X и Y, поэтому разность потенциалов на нем равна нулю. Это означает, что $C_2$ закорочен и его можно убрать из схемы.

После удаления $C_2$ схема упрощается: конденсаторы $C_3$ и $C_4$ оказываются соединенными параллельно (оба подключены между узлом X и выходным зажимом). Их общая емкость:

$C_{34} = C_3 + C_4 = C + C = 2C$

Эта параллельная группа соединена последовательно с конденсатором $C_1$. Общая емкость системы равна:

$\frac{1}{C_д} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{34}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{2+1}{2C} = \frac{3}{2C}$

$C_д = \frac{2C}{3}$

Ответ: $C_д = \frac{2C}{3}$

Рис. е

Обозначим вход и выход как A и B. Пусть $C_3$ — левый конденсатор, $C_1, C_2$ — верхние, $C_4$ — нижний. Узел между $C_3, C_1, C_4$ назовем X, узел между $C_1, C_2$ — Y. Узел Y соединен с входом A, поэтому $V_Y = V_A$.

Рассмотрим соединения:
• $C_3$ соединен между A и X.
• $C_1$ соединен между X и Y (т.е. между X и A).
• $C_2$ соединен между Y и B (т.е. между A и B).
• $C_4$ соединен между X и B.

Конденсаторы $C_1$ и $C_3$ соединены параллельно между точками A и X. Их общая емкость:

$C_{13} = C_1 + C_3 = C + C = 2C$

Эта комбинация $C_{13}$ соединена последовательно с конденсатором $C_4$ (между X и B). Емкость этой ветви $C_{ветвь}$:

$\frac{1}{C_{ветвь}} = \frac{1}{C_{13}} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{C} = \frac{1+2}{2C} = \frac{3}{2C} \implies C_{ветвь} = \frac{2C}{3}$

Вся эта ветвь соединена параллельно с конденсатором $C_2$, который подключен напрямую между A и B. Общая емкость системы — это сумма емкостей параллельных ветвей:

$C_е = C_{ветвь} + C_2 = \frac{2C}{3} + C = \frac{5C}{3}$

Ответ: $C_е = \frac{5C}{3}$