Номер 12.54, страница 74 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.54, страница 74.

Условие.

12.54*. Из проволоки сделан куб, в каждое ребро которого вставлен конденсатор емкостью $\text{C}$. Куб подключен к цепи противоположными вершинами, как показано на рисунке. Найдите емкость $C_0$ получившейся батареи конденсаторов.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Каркас в форме куба, в каждое из 12 ребер которого включен конденсатор емкостью $\text{C}$.

Цепь подключена к двум противоположным вершинам куба (вершины 1 и 7).

Найти:

Эквивалентную емкость $C_0$ получившейся батареи конденсаторов.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся симметрией куба. Пусть к вершинам 1 и 7 приложено напряжение $\text{U}$. Потенциал вершины 1 обозначим $\phi_1$, а потенциал вершины 7 — $\phi_7$. Тогда $U = \phi_1 - \phi_7$.

В силу симметрии куба относительно главной диагонали (1-7), вершины, находящиеся на одинаковом "расстоянии" от входной вершины (измеряемом в количестве ребер), будут иметь одинаковый потенциал.

1. Вершины 2, 4 и 5 соединены с вершиной 1. Они эквивалентны по своему положению относительно диагонали 1-7. Следовательно, их потенциалы равны: $\phi_2 = \phi_4 = \phi_5 = \phi_A$.

2. Вершины 3, 6 и 8 соединены с вершиной 7. Они также эквивалентны по своему положению, и их потенциалы равны: $\phi_3 = \phi_6 = \phi_8 = \phi_B$.

Поскольку точки с одинаковым потенциалом можно электрически соединить, мы можем перерисовать схему, сгруппировав эквипотенциальные вершины. В результате исходная сложная схема сводится к последовательному соединению трех групп конденсаторов.

Первая группа: состоит из трех конденсаторов, подключенных между вершиной 1 (потенциал $\phi_1$) и группой вершин {2, 4, 5} (потенциал $\phi_A$). Это конденсаторы на ребрах 1-2, 1-4, 1-5. Так как они подключены между точками с одинаковой разностью потенциалов, они соединены параллельно. Их общая емкость $C_1$ равна:

$C_1 = C + C + C = 3C$

Вторая группа: состоит из конденсаторов, подключенных между группой вершин {2, 4, 5} (потенциал $\phi_A$) и группой вершин {3, 6, 8} (потенциал $\phi_B$). Подсчитаем их количество: от вершины 2 идут ребра к 3 и 6; от вершины 4 — к 3 и 8; от вершины 5 — к 6 и 8. Всего 6 конденсаторов (2-3, 2-6, 4-3, 4-8, 5-6, 5-8). Все они соединены параллельно. Их общая емкость $C_2$ равна:

$C_2 = 6 \cdot C = 6C$

Третья группа: состоит из трех конденсаторов, подключенных между группой вершин {3, 6, 8} (потенциал $\phi_B$) и вершиной 7 (потенциал $\phi_7$). Это конденсаторы на ребрах 3-7, 6-7, 8-7. Они соединены параллельно, и их общая емкость $C_3$ равна:

$C_3 = C + C + C = 3C$

Таким образом, вся схема эквивалентна последовательному соединению трех конденсаторов с емкостями $C_1$, $C_2$ и $C_3$. Общая емкость $C_0$ находится по формуле для последовательного соединения:

$\frac{1}{C_0} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$

Подставляем найденные значения емкостей:

$\frac{1}{C_0} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{6C} + \frac{1}{3C}$

Приводим дроби к общему знаменателю $\text{6C}$:

$\frac{1}{C_0} = \frac{2}{6C} + \frac{1}{6C} + \frac{2}{6C} = \frac{2+1+2}{6C} = \frac{5}{6C}$

Отсюда выражаем искомую емкость $C_0$:

$C_0 = \frac{6C}{5} = 1.2C$

Ответ: $C_0 = \frac{6}{5}C$.