Номер 12.51, страница 74 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.51, страница 74.

Условие.

12.51*. Найдите емкость $C_0$ представленной на рисунке батареи одинаковых конденсаторов.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Схема, состоящая из шести одинаковых конденсаторов.

Емкость каждого конденсатора равна $\text{C}$.

Найти:

Общую (эквивалентную) емкость $C_0$ батареи конденсаторов.

Решение:

Для нахождения общей емкости схемы проанализируем соединения конденсаторов. Входные клеммы схемы - точки A и D.

Первым шагом заметим, что в схеме есть проводники, соединяющие некоторые точки. Точка A соединена проводником с точкой B, это означает, что их электрические потенциалы равны: $\phi_A = \phi_B$. Аналогично, точка D соединена проводником с точкой F, следовательно, их потенциалы также равны: $\phi_D = \phi_F$.

Это позволяет нам рассматривать точки A и B как один электрический узел, а точки D и F - как другой. Перерисуем схему, объединив эти эквипотенциальные точки. В результате мы получим схему, в которой один конденсатор (изначально между B и D) подключен напрямую между входными узлами A и D. Параллельно этому конденсатору подключена более сложная цепь из оставшихся пяти конденсаторов.

Эта цепь из пяти конденсаторов представляет собой мостовую схему (мост Уитстона). В ней есть две параллельные ветви, соединенные перемычкой:

1. Одна ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_{BE}$ (теперь $C_{AE}$) и $C_{EF}$ (теперь $C_{ED}$).

2. Вторая ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_{AK}$ и $C_{KF}$ (теперь $C_{KD}$).

3. Перемычкой между средними точками E и K этих ветвей служит конденсатор $C_{EK}$.

По условию задачи все конденсаторы одинаковы, их емкость равна $\text{C}$. Проверим условие баланса моста:

$\frac{C_{AE}}{C_{ED}} = \frac{C}{C} = 1$

$\frac{C_{AK}}{C_{KD}} = \frac{C}{C} = 1$

Поскольку отношение емкостей в плечах моста равно ($\frac{C_{AE}}{C_{ED}} = \frac{C_{AK}}{C_{KD}}$), мост является сбалансированным. В сбалансированном мосте потенциалы точек, между которыми включена перемычка, равны: $\phi_E = \phi_K$.

Так как разность потенциалов на конденсаторе $C_{EK}$ равна нулю, он не накапливает заряд и не влияет на общую емкость цепи. Следовательно, этот конденсатор можно мысленно удалить из схемы.

После удаления конденсатора $C_{EK}$ схема значительно упрощается. Теперь она состоит из трех параллельно соединенных ветвей, подключенных между точками A и D:

• Ветвь 1: конденсатор $C_{BD}$ (теперь $C_{AD}$) с емкостью $\text{C}$.

• Ветвь 2: последовательно соединенные $C_{AE}$ и $C_{ED}$. Их эквивалентная емкость $C_{AED} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$.

• Ветвь 3: последовательно соединенные $C_{AK}$ и $C_{KD}$. Их эквивалентная емкость $C_{AKD} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$.

Общая емкость $C_0$ всей батареи равна сумме емкостей этих трех параллельных ветвей:

$C_0 = C_{AD} + C_{AED} + C_{AKD} = C + \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = C + C = 2C$

Ответ: Общая емкость батареи конденсаторов $C_0 = 2C$.