Номер 12.44, страница 73 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.44, страница 73.

Условие.

12.44**. Два одинаковых металлических шара радиусом $\text{R}$, находящихся далеко друг от друга, соединены тонким изолированным проводом. Каждый из шаров имеет заряд $\text{Q}$ и окружен концентрической с ним тонкой незаряженной проводящей сферической оболочкой. Радиус одной оболочки равен $R + a$, радиус другой оболочки $R + b$, причем $a \ll R$, $b \ll R$. Какой заряд $\text{q}$ пройдет по проводу, если обе оболочки заземлить?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус двух одинаковых металлических шаров: $\text{R}$
Начальный заряд каждого шара: $\text{Q}$
Радиус первой концентрической оболочки: $R_1 = R + a$
Радиус второй концентрической оболочки: $R_2 = R + b$
Условия: $a \ll R$, $b \ll R$

Найти:

Заряд $\text{q}$, который пройдет по проводу.

Решение:
После заземления обеих оболочек их потенциал становится равным нулю. Так как шары соединены проводом, их потенциалы выравниваются и становятся одинаковыми. Обозначим конечные заряды на первом и втором шарах как $Q_1$ и $Q_2$ соответственно.

Рассмотрим один шар радиусом $\text{R}$ с зарядом $Q_{сф}$, окруженный заземленной концентрической оболочкой радиусом $R_{об}$. Потенциал оболочки равен нулю.$V_{об} = \frac{k Q_{сф}}{R_{об}} + \frac{k Q_{об}'}{R_{об}} = 0$где $Q_{об}'$ — заряд, индуцированный на внутренней поверхности оболочки. Отсюда следует, что $Q_{об}' = -Q_{сф}$.

Потенциал шара создается его собственным зарядом и зарядом оболочки:$V_{сф} = \frac{k Q_{сф}}{R} + \frac{k Q_{об}'}{R_{об}} = \frac{k Q_{сф}}{R} - \frac{k Q_{сф}}{R_{об}} = k Q_{сф} \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R_{об}}\right)$$V_{сф} = k Q_{сф} \frac{R_{об} - R}{R \cdot R_{об}}$

Применим эту формулу к нашим двум системам.Для первого шара ($R_{об} = R+a$) потенциал $V_1$:$V_1 = k Q_1 \frac{(R+a) - R}{R(R+a)} = k Q_1 \frac{a}{R(R+a)}$Для второго шара ($R_{об} = R+b$) потенциал $V_2$:$V_2 = k Q_2 \frac{(R+b) - R}{R(R+b)} = k Q_2 \frac{b}{R(R+b)}$

Поскольку шары соединены проводом, их потенциалы равны: $V_1 = V_2$.$k Q_1 \frac{a}{R(R+a)} = k Q_2 \frac{b}{R(R+b)}$

Воспользуемся условием, что $a \ll R$ и $b \ll R$. Это означает, что $R+a \approx R$ и $R+b \approx R$. Тогда уравнение упрощается:$Q_1 \frac{a}{R \cdot R} \approx Q_2 \frac{b}{R \cdot R}$$Q_1 a = Q_2 b$

Так как шары соединены изолированным проводом, их суммарный заряд сохраняется. Начальный суммарный заряд был $Q + Q = 2Q$.Следовательно, в конечном состоянии:$Q_1 + Q_2 = 2Q$

Мы получили систему из двух уравнений:1) $Q_1 a = Q_2 b$2) $Q_1 + Q_2 = 2Q$

Выразим $Q_2$ из второго уравнения: $Q_2 = 2Q - Q_1$, и подставим в первое:$Q_1 a = (2Q - Q_1)b$$Q_1 a = 2Qb - Q_1 b$$Q_1(a+b) = 2Qb$$Q_1 = \frac{2Qb}{a+b}$

Заряд $\text{q}$, прошедший по проводу, равен изменению заряда на одном из шаров. Найдем заряд, который ушел с первого шара (или пришел на него):$q = Q_{начальный} - Q_{конечный} = Q - Q_1$$q = Q - \frac{2Qb}{a+b} = Q \left(1 - \frac{2b}{a+b}\right) = Q \frac{a+b-2b}{a+b} = Q \frac{a-b}{a+b}$

Знак заряда $\text{q}$ показывает направление его движения. Если $a > b$, то $q > 0$, и заряд течет от первого шара ко второму. Если $a < b$, то $q < 0$, и заряд течет от второго шара к первому.

Ответ: $q = Q \frac{a-b}{a+b}$