Номер 12.40, страница 72 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.40, страница 72.

Условие.

12.40* Внутри тонкой металлической сферы радиусом $R = 20$ см (см. рисунок) находится металлический шар радиусом $r = R/2$; центры шара и сферы совпадают. Через маленькое отверстие в сфере проходит длинный провод, с помощью которого шар заземлен. На сферу помещают заряд $Q = 20$ нКл. Найдите ее потенциал $\phi$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус сферы $R = 20$ см

Радиус шара $r = R/2$

Заряд сферы $Q = 20$ нКл

Перевод в систему СИ:

$R = 0.2$ м

$r = 0.2 / 2 = 0.1$ м

$Q = 20 \cdot 10^{-9}$ Кл

Найти:

Потенциал сферы $φ$.

Решение:

Пусть заряд, индуцированный на заземленном внутреннем шаре, равен $\text{q}$. Внешней сфере сообщили заряд $\text{Q}$. Этот заряд распределится по ее внутренней и внешней поверхностям. По закону электростатической индукции на внутренней поверхности сферы (обращенной к шару) индуцируется заряд $q_{внутр} = -q$.

Суммарный заряд на сфере равен $\text{Q}$. Он складывается из заряда на внутренней и внешней поверхностях:

$Q = q_{внутр} + q_{внеш}$

Отсюда заряд на внешней поверхности сферы:

$q_{внеш} = Q - q_{внутр} = Q - (-q) = Q + q$

Внутренний шар заземлен, следовательно, его потенциал равен нулю ($φ_{шара} = 0$). Потенциал шара создается его собственным зарядом $\text{q}$ и зарядами на поверхностях внешней сферы. Потенциал в любой точке внутри проводящей сферы, создаваемый зарядом этой сферы, постоянен и равен потенциалу на ее поверхности.

Потенциал на поверхности внутреннего шара (на расстоянии $\text{r}$ от центра) равен сумме потенциалов:

1. от собственного заряда $\text{q}$: $φ_1 = k \frac{q}{r}$

2. от заряда на внутренней поверхности сферы $q_{внутр} = -q$ (на расстоянии $\text{R}$): $φ_2 = k \frac{-q}{R}$

3. от заряда на внешней поверхности сферы $q_{внеш} = Q+q$ (на расстоянии $\text{R}$): $φ_3 = k \frac{Q+q}{R}$

Суммарный потенциал шара:

$φ_{шара} = φ_1 + φ_2 + φ_3 = k \frac{q}{r} + k \frac{-q}{R} + k \frac{Q+q}{R} = k(\frac{q}{r} + \frac{-q+Q+q}{R}) = k(\frac{q}{r} + \frac{Q}{R})$

Так как $φ_{шара} = 0$, то:

$k(\frac{q}{r} + \frac{Q}{R}) = 0 \implies \frac{q}{r} = -\frac{Q}{R} \implies q = -Q \frac{r}{R}$

Теперь найдем потенциал $φ$ внешней сферы. Он равен потенциалу на ее поверхности (на расстоянии $\text{R}$ от центра). Этот потенциал создается зарядом внутреннего шара $\text{q}$ и зарядами на самой сфере.

$φ = k \frac{q}{R} + k \frac{q_{внутр}}{R} + k \frac{q_{внеш}}{R} = k \frac{q + q_{внутр} + q_{внеш}}{R}$

Подставляем выражения для зарядов:

$φ = k \frac{q + (-q) + (Q+q)}{R} = k \frac{Q+q}{R}$

Теперь подставим найденное выражение для заряда $\text{q}$:

$φ = k \frac{Q + (-Q \frac{r}{R})}{R} = k \frac{Q(1 - \frac{r}{R})}{R}$

По условию $r = R/2$, значит $\frac{r}{R} = \frac{1}{2}$.

$φ = k \frac{Q(1 - \frac{1}{2})}{R} = \frac{kQ}{2R}$

Подставим числовые значения, где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$:

$φ = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 20 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 0.2} = \frac{180}{0.4} = 450$ В

Ответ: Потенциал сферы равен 450 В.