Номер 12.47, страница 73 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.47, страница 73.

Условие.

12.47. Во сколько раз изменится емкость плоского конденсатора, если в него ввести две тонкие металлические пластины (см. рис. а)? Если соединить эти пластины проводом (см. рис. б)?

Рис. а

Рис. б

Решение.

Решение 2.

Дано:

$C_0$ – начальная емкость плоского конденсатора,
$\text{d}$ – расстояние между обкладками,
$\text{S}$ – площадь обкладок,
$\epsilon_0$ – электрическая постоянная,
$\epsilon = 1$ (воздушный конденсатор).

Найти:

$C_a/C_0$ – отношение емкости после введения двух пластин к начальной.
$C_b/C_0$ – отношение емкости после введения двух соединенных проводом пластин к начальной.

Решение:

Начальная емкость плоского воздушного конденсатора определяется формулой:
$C_0 = \frac{\epsilon_0 \epsilon S}{d} = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

а) Если ввести две тонкие металлические пластины (см. рис. а)

При введении двух тонких изолированных (несоединенных) металлических пластин параллельно обкладкам, система эквивалентна трем последовательно соединенным конденсаторам. Каждая из введенных пластин является общей обкладкой для двух соседних конденсаторов. Расстояние между пластинами в каждом из трех новых конденсаторов равно $d/3$.

Емкость каждого из трех получившихся конденсаторов ($C_1$, $C_2$, $C_3$) будет одинаковой:
$C_1 = C_2 = C_3 = \frac{\epsilon_0 S}{d/3} = 3 \frac{\epsilon_0 S}{d} = 3C_0$

При последовательном соединении конденсаторов их общая емкость $C_a$ находится по формуле:
$\frac{1}{C_a} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$

Подставим значения емкостей:
$\frac{1}{C_a} = \frac{1}{3C_0} + \frac{1}{3C_0} + \frac{1}{3C_0} = \frac{3}{3C_0} = \frac{1}{C_0}$

Отсюда следует, что $C_a = C_0$. Таким образом, емкость конденсатора не изменится.
Ответ: Емкость не изменится, то есть изменится в 1 раз.

б) Если соединить эти пластины проводом (см. рис. б)

Когда две введенные пластины соединяются проводом, они образуют единый проводник, который находится под одним и тем же потенциалом. Пространство между этими пластинами (шириной $d/3$) становится эквипотенциальным, и электрическое поле в нем равно нулю.

Эту систему можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора. Первый конденсатор образован положительной обкладкой и соединенными пластинами, а второй — соединенными пластинами и отрицательной обкладкой. Расстояние между обкладками у каждого из этих двух конденсаторов равно $d/3$.

Емкость каждого из этих двух конденсаторов ($C_1'$ и $C_2'$) будет:
$C_1' = C_2' = \frac{\epsilon_0 S}{d/3} = 3 \frac{\epsilon_0 S}{d} = 3C_0$

Общая емкость $C_b$ при их последовательном соединении:
$\frac{1}{C_b} = \frac{1}{C_1'} + \frac{1}{C_2'} = \frac{1}{3C_0} + \frac{1}{3C_0} = \frac{2}{3C_0}$

Отсюда $C_b = \frac{3}{2} C_0 = 1.5 C_0$.

Другой способ рассуждения: соединенные пластины образуют проводящий слой толщиной $d/3$. Это эквивалентно уменьшению расстояния между обкладками исходного конденсатора на эту величину. Новое эффективное расстояние между обкладками становится $d_{эфф} = d - d/3 = 2d/3$.
Тогда новая емкость $C_b$ будет равна:
$C_b = \frac{\epsilon_0 S}{d_{эфф}} = \frac{\epsilon_0 S}{2d/3} = \frac{3}{2} \frac{\epsilon_0 S}{d} = 1.5 C_0$

Таким образом, емкость конденсатора увеличится в 1,5 раза.
Ответ: Емкость увеличится в 1,5 раза.