Номер 12.53, страница 74 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.53, страница 74.

Условие.

12.53*. Найдите емкость $C_0$ показанной на рисунке батареи конденсаторов.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкость конденсатора между точками A и D: $C_{AD} = 3C$
Емкость конденсатора между точками D и B: $C_{DB} = 6C$
Емкость конденсатора между точками A и E: $C_{AE} = 6C$
Емкость конденсатора между точками E и B: $C_{EB} = 12C$
Емкость конденсатора между точками D и E: $C_{DE} = 6C$
Так как все емкости выражены через одну и ту же величину $\text{C}$, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Эквивалентную емкость $C_0$ батареи конденсаторов.

Решение:

Данная схема представляет собой мостовую схему соединения конденсаторов, известную как мост Уитстона. Для того чтобы упростить расчет, необходимо проверить, является ли мост сбалансированным. Условие баланса для моста емкостей заключается в равенстве произведений емкостей в противолежащих плечах:

$C_{AD} \cdot C_{EB} = C_{AE} \cdot C_{DB}$

Подставим в это равенство значения емкостей из условия задачи:

Левая часть равенства: $(3C) \cdot (12C) = 36C^2$

Правая часть равенства: $(6C) \cdot (6C) = 36C^2$

Поскольку левая и правая части равны ($36C^2 = 36C^2$), мост является сбалансированным. В сбалансированном мосте потенциалы в точках D и E равны ($ \varphi_D = \varphi_E $). Это означает, что разность потенциалов на конденсаторе $C_{DE}$ равна нулю, и, следовательно, на его обкладках нет заряда. Такой конденсатор не влияет на общую емкость цепи, и его можно мысленно удалить из схемы.

После удаления конденсатора $C_{DE}$ схема сводится к двум параллельно соединенным ветвям.

Верхняя ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_{AD}$ и $C_{DB}$. Её эквивалентная емкость $C_{верх}$ рассчитывается по формуле:

$ \frac{1}{C_{верх}} = \frac{1}{C_{AD}} + \frac{1}{C_{DB}} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{6C} = \frac{2+1}{6C} = \frac{3}{6C} = \frac{1}{2C} $

Отсюда $C_{верх} = 2C$.

Нижняя ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_{AE}$ и $C_{EB}$. Её эквивалентная емкость $C_{нижн}$ рассчитывается аналогично:

$ \frac{1}{C_{нижн}} = \frac{1}{C_{AE}} + \frac{1}{C_{EB}} = \frac{1}{6C} + \frac{1}{12C} = \frac{2+1}{12C} = \frac{3}{12C} = \frac{1}{4C} $

Отсюда $C_{нижн} = 4C$.

Общая (эквивалентная) емкость всей батареи $C_0$ равна сумме емкостей параллельно соединенных ветвей:

$C_0 = C_{верх} + C_{нижн} = 2C + 4C = 6C$

Ответ: $C_0 = 6C$.