Номер 12.56, страница 75 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.56, страница 75.

Условие.

12.56. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику постоянного напряжения $\text{U}$. Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в каждом из конденсаторов, если один из них заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\text{U}$ - напряжение источника

$\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость диэлектрика

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора

Найти:

Во сколько раз изменится напряженность электрического поля в каждом из конденсаторов.

Решение:

Рассмотрим систему до внесения диэлектрика. Два одинаковых воздушных конденсатора имеют одинаковую емкость, обозначим её $C_0$.

При последовательном соединении общая емкость батареи $C_{общ}$ вычисляется по формуле:

$\frac{1}{C_{общ1}} = \frac{1}{C_0} + \frac{1}{C_0} = \frac{2}{C_0}$

$C_{общ1} = \frac{C_0}{2}$

Общий заряд на батарее конденсаторов равен:

$q_1 = C_{общ1} \cdot U = \frac{C_0 U}{2}$

При последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе одинаков и равен общему заряду: $q_{1(1)} = q_{1(2)} = q_1$.

Напряжение на каждом из одинаковых конденсаторов будет одинаковым и равно половине общего напряжения:

$U_1 = U_2 = \frac{U}{2}$

Напряженность электрического поля $\text{E}$ в плоском конденсаторе связана с напряжением $\text{U}$ и расстоянием между обкладками $\text{d}$ соотношением $E = U/d$. Тогда начальная напряженность поля в каждом конденсаторе:

$E_1 = E_2 = \frac{U/2}{d} = \frac{U}{2d}$

Теперь рассмотрим систему после того, как один из конденсаторов заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Обозначим этот конденсатор как первый.

Емкость первого конденсатора станет $C_1' = \varepsilon C_0$. Емкость второго конденсатора останется $C_2' = C_0$.

Новая общая емкость батареи $C_{общ2}$ при последовательном соединении:

$\frac{1}{C_{общ2}} = \frac{1}{C_1'} + \frac{1}{C_2'} = \frac{1}{\varepsilon C_0} + \frac{1}{C_0} = \frac{1 + \varepsilon}{\varepsilon C_0}$

$C_{общ2} = \frac{\varepsilon C_0}{1 + \varepsilon}$

Новый общий заряд на батарее:

$q_2 = C_{общ2} \cdot U = \frac{\varepsilon C_0 U}{1 + \varepsilon}$

Этот заряд будет на каждом из конденсаторов: $q_{2(1)} = q_{2(2)} = q_2$.

Найдем новые напряжения на каждом конденсаторе:

Напряжение на первом конденсаторе (с диэлектриком):

$U_1' = \frac{q_2}{C_1'} = \frac{\varepsilon C_0 U / (1 + \varepsilon)}{\varepsilon C_0} = \frac{U}{1 + \varepsilon}$

Напряжение на втором конденсаторе (воздушном):

$U_2' = \frac{q_2}{C_2'} = \frac{\varepsilon C_0 U / (1 + \varepsilon)}{C_0} = \frac{\varepsilon U}{1 + \varepsilon}$

Теперь найдем новые напряженности электрического поля в каждом конденсаторе:

Напряженность в первом конденсаторе (с диэлектриком):

$E_1' = \frac{U_1'}{d} = \frac{U}{d(1 + \varepsilon)}$

Напряженность во втором конденсаторе (воздушном):

$E_2' = \frac{U_2'}{d} = \frac{\varepsilon U}{d(1 + \varepsilon)}$

Найдем, во сколько раз изменилась напряженность в каждом конденсаторе, вычислив отношение конечной напряженности к начальной.

Для конденсатора, который заполнили диэлектриком:

$\frac{E_1'}{E_1} = \frac{U / (d(1 + \varepsilon))}{U / (2d)} = \frac{U}{d(1 + \varepsilon)} \cdot \frac{2d}{U} = \frac{2}{1 + \varepsilon}$

Так как $\varepsilon > 1$, то $1 + \varepsilon > 2$, и дробь $\frac{2}{1 + \varepsilon} < 1$. Следовательно, напряженность поля уменьшилась.

Ответ: Напряженность электрического поля в конденсаторе, который заполнили диэлектриком, изменится в $\frac{2}{1 + \varepsilon}$ раз (уменьшится).

Для конденсатора, который остался воздушным:

$\frac{E_2'}{E_2} = \frac{\varepsilon U / (d(1 + \varepsilon))}{U / (2d)} = \frac{\varepsilon U}{d(1 + \varepsilon)} \cdot \frac{2d}{U} = \frac{2\varepsilon}{1 + \varepsilon}$

Так как $\varepsilon > 1$, то $2\varepsilon > 1 + \varepsilon$, и дробь $\frac{2\varepsilon}{1 + \varepsilon} > 1$. Следовательно, напряженность поля увеличилась.

Ответ: Напряженность электрического поля в воздушном конденсаторе изменится в $\frac{2\varepsilon}{1 + \varepsilon}$ раз (увеличится).