Номер 12.59, страница 75 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.59, страница 75.

Условие.

12.59* Найдите разность потенциалов между точками A и B в цепи (см. рисунок). Какой станет эта разность потенциалов и полная емкость $\text{C}$ системы конденсаторов, если между точками A и B включить резистор с сопротивлением R?

К задаче 12.59

Решение.

Решение 2.

Дано:

Электрическая схема, содержащая источник ЭДС $\mathscr{E}$ и четыре конденсатора с емкостями $C_1, C_2, C_3, C_4$. Во второй части задачи между точками А и В включается резистор с сопротивлением $\text{R}$.

Найти:

1. Разность потенциалов $\Delta\varphi_{AB} = \varphi_A - \varphi_B$ в исходной цепи.

2. Разность потенциалов $\Delta\varphi'_{AB}$ и полную емкость $\text{C}$ системы после включения резистора $\text{R}$.

Решение:

Разность потенциалов между точками А и В

В установившемся режиме после полной зарядки конденсаторов постоянный ток через них не течет. Цепь состоит из двух параллельных ветвей, подключенных к источнику ЭДС. Напряжение на каждой ветви равно $\mathscr{E}$.

Верхняя ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_1$ и $C_2$. Их эквивалентная емкость $C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$. Заряд на каждом из этих конденсаторов одинаков:

$q_{12} = C_{12} \mathscr{E} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \mathscr{E}$

Нижняя ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_3$ и $C_4$. Их эквивалентная емкость $C_{34} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4}$. Заряд на каждом из них также одинаков:

$q_{34} = C_{34} \mathscr{E} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} \mathscr{E}$

Для нахождения разности потенциалов примем потенциал отрицательного полюса источника (узел E) равным нулю. Тогда потенциал положительного полюса (узел D) будет равен $\mathscr{E}$.

Потенциал в точке A можно найти, двигаясь от узла D. Он равен потенциалу узла D за вычетом падения напряжения на конденсаторе $C_1$:

$\varphi_A = \varphi_D - U_1 = \mathscr{E} - \frac{q_{12}}{C_1} = \mathscr{E} - \frac{1}{C_1} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \mathscr{E} = \mathscr{E} \left(1 - \frac{C_2}{C_1 + C_2}\right) = \mathscr{E} \frac{C_1}{C_1 + C_2}$

Аналогично найдем потенциал в точке B:

$\varphi_B = \varphi_D - U_3 = \mathscr{E} - \frac{q_{34}}{C_3} = \mathscr{E} - \frac{1}{C_3} \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} \mathscr{E} = \mathscr{E} \left(1 - \frac{C_4}{C_3 + C_4}\right) = \mathscr{E} \frac{C_3}{C_3 + C_4}$

Искомая разность потенциалов равна:

$\Delta\varphi_{AB} = \varphi_A - \varphi_B = \mathscr{E} \frac{C_1}{C_1 + C_2} - \mathscr{E} \frac{C_3}{C_3 + C_4} = \mathscr{E} \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} - \frac{C_3}{C_3 + C_4} \right)$

Приводя выражение в скобках к общему знаменателю, получаем:

$\Delta\varphi_{AB} = \mathscr{E} \frac{C_1(C_3 + C_4) - C_3(C_1 + C_2)}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)} = \mathscr{E} \frac{C_1 C_3 + C_1 C_4 - C_1 C_3 - C_2 C_3}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)} = \mathscr{E} \frac{C_1 C_4 - C_2 C_3}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}$

Ответ: $\Delta\varphi_{AB} = \mathscr{E} \frac{C_1 C_4 - C_2 C_3}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}$

Разность потенциалов и полная емкость C, если между точками А и В включить резистор R

При включении резистора $\text{R}$ между точками А и В в цепи с источником постоянного тока, после завершения всех переходных процессов (в установившемся режиме) ток через ветви с конденсаторами протекать не будет. Следовательно, ток не будет течь и через резистор $\text{R}$, так как он подключен к точкам, от которых нет пути для постоянного тока.

По закону Ома для участка цепи, разность потенциалов на резисторе равна нулю, так как ток через него равен нулю ($I_R = 0$):

$\Delta\varphi'_{AB} = I_R \cdot R = 0 \cdot R = 0$

Таким образом, потенциалы точек А и В становятся равными, $\varphi'_A = \varphi'_B$.

Для нахождения полной емкости системы в этом случае можно считать точки А и В соединенными. Схема преобразуется: конденсаторы $C_1$ и $C_3$ оказываются соединенными параллельно (их эквивалентная емкость $C_{13} = C_1 + C_3$), и конденсаторы $C_2$ и $C_4$ также соединены параллельно (их эквивалентная емкость $C_{24} = C_2 + C_4$).

Эти две группы ($C_{13}$ и $C_{24}$) соединены между собой последовательно. Общая емкость системы $\text{C}$ находится по формуле для последовательного соединения:

$C = \frac{C_{13} \cdot C_{24}}{C_{13} + C_{24}} = \frac{(C_1 + C_3)(C_2 + C_4)}{(C_1 + C_3) + (C_2 + C_4)} = \frac{(C_1 + C_3)(C_2 + C_4)}{C_1 + C_2 + C_3 + C_4}$

Ответ: Разность потенциалов между точками А и В станет равной нулю: $\Delta\varphi'_{AB} = 0$. Полная емкость системы будет равна $C = \frac{(C_1 + C_3)(C_2 + C_4)}{C_1 + C_2 + C_3 + C_4}$.