Номер 11.27, страница 65 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.27, страница 65.

Условие.

11.27**. Найдите работу $A'$, совершенную одним молем идеального газа за цикл (см. рисунок). Температуры газа в состояниях 1 и 3 равны, соответственно, $T_1$ и $T_3$, а точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество вещества: $\nu = 1$ моль

Газ: идеальный

Температура в состоянии 1: $T_1$

Температура в состоянии 3: $T_3$

Точки 2 и 4 лежат на одной изотерме: $T_2 = T_4$

Найти:

Работу газа за цикл: $A'$

Решение:

Работа, совершаемая газом за цикл, равна сумме работ на каждом участке цикла:

$A' = A'_{12} + A'_{23} + A'_{34} + A'_{41}$

Процессы 1-2 (нагревание при постоянном объеме) и 3-4 (охлаждение при постоянном объеме) являются изохорными, так как объем газа не изменяется ($V = \text{const}$). Работа в изохорном процессе равна нулю:

$A'_{12} = 0$

$A'_{34} = 0$

Процессы 2-3 (расширение при постоянном давлении) и 4-1 (сжатие при постоянном давлении) являются изобарными ($p = \text{const}$). Работа в изобарном процессе вычисляется по формуле $A' = p \Delta V$.

Работа на участке 2-3:

$A'_{23} = p_2(V_3 - V_2) = p_2(V_3 - V_1)$ (так как $V_1 = V_2$)

Работа на участке 4-1:

$A'_{41} = p_1(V_1 - V_4) = p_1(V_1 - V_3) = -p_1(V_3 - V_1)$ (так как $V_3 = V_4$)

Полная работа за цикл равна:

$A' = A'_{23} + A'_{41} = p_2(V_3 - V_1) - p_1(V_3 - V_1) = (p_2 - p_1)(V_3 - V_1)$

Эта работа численно равна площади прямоугольника, образованного циклом на $p-V$ диаграмме. Раскроем скобки:

$A' = p_2V_3 - p_2V_1 - p_1V_3 + p_1V_1$

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$ для каждого из четырех состояний, учитывая, что $\nu = 1$ моль.

Для состояния 1: $p_1V_1 = RT_1$

Для состояния 2: $p_2V_2 = RT_2 \implies p_2V_1 = RT_2$

Для состояния 3: $p_3V_3 = RT_3 \implies p_2V_3 = RT_3$

Для состояния 4: $p_4V_4 = RT_4 \implies p_1V_3 = RT_4$

Подставим эти соотношения в выражение для работы:

$A' = (p_2V_3) - (p_2V_1) - (p_1V_3) + (p_1V_1) = RT_3 - RT_2 - RT_4 + RT_1$

По условию задачи, температуры в точках 2 и 4 равны ($T_2 = T_4$). Тогда выражение для работы принимает вид:

$A' = R(T_1 + T_3 - 2T_2)$

Теперь необходимо выразить температуру $T_2$ через заданные $T_1$ и $T_3$. Для этого воспользуемся записанными ранее уравнениями состояния.

Разделим уравнение для состояния 2 на уравнение для состояния 1:

$\frac{p_2V_1}{p_1V_1} = \frac{RT_2}{RT_1} \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Разделим уравнение для состояния 3 на уравнение для состояния 4:

$\frac{p_2V_3}{p_1V_3} = \frac{RT_3}{RT_4} \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_3}{T_4}$

Приравнивая отношения давлений, получаем соотношение для температур:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4}$

Учитывая, что $T_2 = T_4$, получаем:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2} \implies T_2^2 = T_1T_3 \implies T_2 = \sqrt{T_1T_3}$

Подставим это выражение для $T_2$ в формулу для работы $A'$:

$A' = R(T_1 + T_3 - 2\sqrt{T_1T_3})$

Полученное выражение является формулой квадрата разности:

$A' = R((\sqrt{T_1})^2 - 2\sqrt{T_1}\sqrt{T_3} + (\sqrt{T_3})^2) = R(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$

Ответ: $A' = R(\sqrt{T_3} - \sqrt{T_1})^2$.