Номер 11.22, страница 64 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.22, страница 64.

Условие.

11.22*. Докажите, что молярные теплоемкости*) идеального газа при постоянном давлении $C_p$ и при постоянном объеме $C_V$ связаны соотношением $C_p - C_V = R$, где $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная.

Решение.

Решение 2.

Решение

Для доказательства данного соотношения, известного как уравнение Майера, воспользуемся первым началом термодинамики, определением молярных теплоемкостей и уравнением состояния идеального газа.

Первое начало термодинамики гласит, что количество теплоты $\text{dQ}$, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии $\text{dU}$ и на совершение системой работы $\text{dA}$ против внешних сил:
$dQ = dU + dA$
Работа, совершаемая газом при изменении его объема на $\text{dV}$, равна $dA = p dV$, где $\text{p}$ — давление газа. Тогда первое начало термодинамики можно записать в виде:
$dQ = dU + p dV$

Рассмотрим два процесса для $\nu$ молей идеального газа.

1. Изохорный процесс (при постоянном объеме, $V = const$)
При изохорном процессе объем газа не меняется, следовательно, $dV = 0$, и работа, совершаемая газом, $dA = 0$.
Из первого начала термодинамики следует: $dQ_V = dU$.
По определению, молярная теплоемкость при постоянном объеме $C_V$ равна:
$C_V = \frac{1}{\nu}\frac{dQ_V}{dT} = \frac{1}{\nu}\frac{dU}{dT}$
Отсюда изменение внутренней энергии $\nu$ молей газа при изменении его температуры на $\text{dT}$ равно:
$dU = \nu C_V dT$
Важно отметить, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры ($U = f(T)$), поэтому данное выражение для $\text{dU}$ справедливо для любого процесса, в котором температура изменяется на $\text{dT}$, а не только для изохорного.

2. Изобарный процесс (при постоянном давлении, $p = const$)
При изобарном процессе газ расширяется и совершает работу. Количество теплоты $dQ_p$, подведенное к газу, определяется через молярную теплоемкость при постоянном давлении $C_p$:
$C_p = \frac{1}{\nu}\frac{dQ_p}{dT}$
Следовательно, $dQ_p = \nu C_p dT$.
Подставим это выражение в первое начало термодинамики:
$\nu C_p dT = dU + p dV$

Теперь воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):
$pV = \nu RT$
Продифференцируем это уравнение, учитывая, что в изобарном процессе давление $\text{p}$ является постоянной величиной ($p=const$):
$d(pV) = d(\nu RT)$
$p dV + V dp = \nu R dT$
Так как $p = const$, то $dp = 0$. Следовательно, работа, совершаемая газом, равна:
$p dV = \nu R dT$

Подставим выражения для $\text{dU}$ (из пункта 1) и $p dV$ (из уравнения состояния) в уравнение первого начала термодинамики для изобарного процесса:
$\nu C_p dT = (\nu C_V dT) + (\nu R dT)$
Сократим обе части уравнения на $\nu dT$ (так как по условию происходит изменение состояния, $dT \neq 0$, и количество вещества $\nu \neq 0$):
$C_p = C_V + R$
Перенеся $C_V$ в левую часть, получаем искомое соотношение:
$C_p - C_V = R$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Соотношение $C_p - C_V = R$ доказано с использованием первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа.