Номер 11.18, страница 64 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.18, страница 64.

Условие.

11.18. Объем некоторой массы газа увеличивается вдвое. В каком случае газ совершает большую работу — при изобарном расширении или при изотермическом?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Расширение газа от начального объема $V_1$ до конечного объема $V_2$.

$V_2 = 2V_1$

Рассматриваются два процесса, начинающиеся из одинакового начального состояния ($p_1, V_1, T_1$):

1. Изобарное расширение ($p = const$)

2. Изотермическое расширение ($T = const$)

Найти:

Сравнить работу, совершаемую газом в этих двух процессах: $A_{изобар}$ и $A_{изотерм}$.

Решение:

Работа, совершаемая газом при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$, в общем случае вычисляется по формуле:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$

Рассмотрим каждый процесс отдельно, предполагая, что газ является идеальным.

1. Изобарное расширение.

В этом процессе давление газа остается постоянным и равным начальному давлению $p_1$.

$p = p_1 = const$

Работа газа в изобарном процессе:

$A_{изобар} = \int_{V_1}^{V_2} p_1 \, dV = p_1 \int_{V_1}^{V_2} \, dV = p_1 (V_2 - V_1)$

Подставляя условие $V_2 = 2V_1$, получаем:

$A_{изобар} = p_1 (2V_1 - V_1) = p_1 V_1$

2. Изотермическое расширение.

В этом процессе температура газа остается постоянной. Согласно уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева-Клапейрона) $pV = \nu RT$, при постоянной температуре произведение $\text{pV}$ также является постоянной величиной.

$pV = const = p_1 V_1$

Отсюда можно выразить зависимость давления от объема: $p(V) = \frac{p_1 V_1}{V}$.

Работа газа в изотермическом процессе:

$A_{изотерм} = \int_{V_1}^{V_2} p(V) \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{p_1 V_1}{V} \, dV$

$A_{изотерм} = p_1 V_1 \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = p_1 V_1 [\ln V]_{V_1}^{V_2} = p_1 V_1 (\ln V_2 - \ln V_1) = p_1 V_1 \ln\frac{V_2}{V_1}$

Подставляя условие $V_2 = 2V_1$, получаем:

$A_{изотерм} = p_1 V_1 \ln\frac{2V_1}{V_1} = p_1 V_1 \ln 2$

Сравнение работ.

Теперь сравним полученные выражения для работы:

$A_{изобар} = p_1 V_1$

$A_{изотерм} = p_1 V_1 \ln 2$

Для сравнения этих величин необходимо сравнить множители $\text{1}$ и $\ln 2$.

Натуральный логарифм $\ln 2$ — это степень, в которую нужно возвести число Эйлера $\text{e}$ ($e \approx 2.718$), чтобы получить 2. Поскольку $e > 2$, то $\ln e > \ln 2$. Так как $\ln e = 1$, то $1 > \ln 2$ (приблизительное значение $\ln 2 \approx 0.693$).

Следовательно:

$p_1 V_1 > p_1 V_1 \ln 2$

$A_{изобар} > A_{изотерм}$

Этот результат можно также наглядно продемонстрировать с помощью $p-V$ диаграммы. Работа газа численно равна площади под графиком процесса на этой диаграмме. Оба процесса начинаются в одной и той же точке $(V_1, p_1)$.

График изобарного процесса — это горизонтальная линия $p=p_1$ от $V_1$ до $V_2$.

График изотермического процесса — это гипербола $p = \frac{const}{V}$, которая идет из точки $(V_1, p_1)$ вниз до точки $(V_2, p_2)$, где $p_2 = p_1 V_1 / V_2 = p_1/2$.

На всем интервале расширения (кроме начальной точки) давление при изобарном процессе ($p_1$) выше, чем давление при изотермическом процессе ($p(V) = p_1 V_1 / V < p_1$ для $V > V_1$). Поэтому график изобары лежит выше графика изотермы. Следовательно, и площадь под графиком изобарного процесса будет больше, чем площадь под графиком изотермического.

Ответ: Газ совершает большую работу при изобарном расширении.