Номер 11.24, страница 65 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.24, страница 65.

Условие.

11.24*. Чему равны молярные теплоемкости одноатомного идеального газа при постоянном объеме $C_V$ и при постоянном давлении $C_p$? Найдите их отношение $\gamma = C_p / C_V$. Каково примерное значение этого отношения для жидкости?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Одноатомный идеальный газ.

Найти:

$C_V$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме;

$C_p$ - молярная теплоемкость при постоянном давлении;

$\gamma = C_p/C_V$ - отношение теплоемкостей для газа;

$\gamma_{жидкости}$ - примерное значение отношения теплоемкостей для жидкости.

Решение:

1. Молярная теплоемкость при постоянном объеме $C_V$.

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты $\text{Q}$, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $\text{A}$: $Q = \Delta U + A$.

При изохорном процессе (при постоянном объеме, $V = \text{const}$) работа газа равна нулю ($A=p\Delta V=0$). Тогда все подводимое тепло идет на увеличение внутренней энергии: $Q_V = \Delta U$.

По определению, молярная теплоемкость при постоянном объеме равна $C_V = \frac{Q_V}{\nu \Delta T}$, где $\nu$ - количество вещества, а $\Delta T$ - изменение температуры.

Следовательно, $C_V = \frac{\Delta U}{\nu \Delta T}$.

Внутренняя энергия $\nu$ молей идеального газа определяется формулой $U = \frac{i}{2}\nu R T$, где $\text{i}$ - число степеней свободы молекул, а $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная. Для одноатомного газа молекулы рассматриваются как материальные точки, обладающие только тремя поступательными степенями свободы, поэтому $i=3$.

Изменение внутренней энергии равно $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$.

Подставляя это выражение в формулу для $C_V$, получаем:

$C_V = \frac{\frac{3}{2}\nu R \Delta T}{\nu \Delta T} = \frac{3}{2}R$.

2. Молярная теплоемкость при постоянном давлении $C_p$.

При изобарном процессе (при постоянном давлении, $p = \text{const}$) первое начало термодинамики имеет вид $Q_p = \Delta U + A$.

Работа, совершаемая газом, равна $A = p \Delta V$. Из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu R T$ следует, что при постоянном давлении $p \Delta V = \nu R \Delta T$. Таким образом, $A = \nu R \Delta T$.

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от изменения температуры, поэтому, как и в предыдущем случае, $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$.

Тогда количество теплоты, полученное газом, равно $Q_p = \frac{3}{2}\nu R \Delta T + \nu R \Delta T = \frac{5}{2}\nu R \Delta T$.

По определению, молярная теплоемкость при постоянном давлении $C_p = \frac{Q_p}{\nu \Delta T}$.

Подставляя выражение для $Q_p$, получаем:

$C_p = \frac{\frac{5}{2}\nu R \Delta T}{\nu \Delta T} = \frac{5}{2}R$.

Этот же результат можно получить, используя уравнение Майера: $C_p - C_V = R$, откуда $C_p = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$.

3. Отношение теплоемкостей $\gamma = C_p/C_V$ (показатель адиабаты).

Для одноатомного идеального газа это отношение равно:

$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{\frac{5}{2}R}{\frac{3}{2}R} = \frac{5}{3} \approx 1,67$.

4. Примерное значение отношения $\gamma$ для жидкости.

Жидкости, в отличие от газов, очень слабо сжимаемы и обладают малым коэффициентом теплового расширения. Это означает, что при нагревании жидкости при постоянном давлении ее объем изменяется незначительно. Следовательно, работа расширения $A = p\Delta V$ очень мала по сравнению с изменением внутренней энергии $\Delta U$.

Из первого начала термодинамики $Q_p = \Delta U + A$. Так как $A \approx 0$, то $Q_p \approx \Delta U$.

При постоянном объеме $Q_V = \Delta U$.

Таким образом, для жидкости $Q_p \approx Q_V$, а значит и теплоемкости $C_p = \frac{Q_p}{\nu \Delta T}$ и $C_V = \frac{Q_V}{\nu \Delta T}$ очень близки по значению: $C_p \approx C_V$.

Следовательно, их отношение $\gamma = C_p/C_V$ для жидкости очень близко к единице.

Ответ:

Для одноатомного идеального газа молярные теплоемкости равны $C_V = \frac{3}{2}R$ и $C_p = \frac{5}{2}R$. Их отношение $\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{5}{3} \approx 1,67$. Для жидкости примерное значение этого отношения $\gamma \approx 1$.