Номер 11.20, страница 64 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 11. Законы термодинамики - номер 11.20, страница 64.

Условие.

11.20*. В цилиндре под поршнем находится сухой воздух. С ним поочередно происходят следующие процессы: изохорное нагревание, изобарное расширение, изотермическое расширение. Затем воздух изобарно возвращается в исходное состояние. Начертите график процесса в координатах $\text{p}$, $\text{V}$. Укажите, на каких этапах процесса воздух получает тепло и на каких отдает.

Решение.

Решение 2.

Решение

Рассмотрим последовательность процессов, происходящих с сухим воздухом, который будем считать идеальным газом. Обозначим состояния газа цифрами: 1 – исходное состояние ($p_1, V_1, T_1$); 2 – состояние после изохорного нагревания ($p_2, V_1, T_2$); 3 – состояние после изобарного расширения ($p_2, V_3, T_3$); 4 – состояние после изотермического расширения ($p_4, V_4, T_3$).

Возврат в исходное состояние 1 происходит из состояния 4 в ходе одного изобарного процесса. Это означает, что давление в состоянии 4 должно быть равно давлению в состоянии 1, то есть $p_4 = p_1$.

Построение графика процесса в координатах p, V

График процесса представляет собой замкнутый цикл 1-2-3-4-1.

Участок 1-2: Изохорное нагревание.
Процесс происходит при постоянном объеме ($V = V_1 = const$). Согласно закону Шарля, для изохорного процесса давление прямо пропорционально температуре ($p/T = const$). Так как газ нагревается ($T_2 > T_1$), его давление растет ($p_2 > p_1$). В координатах p, V этот процесс изображается вертикальной прямой, направленной вверх из точки 1($p_1, V_1$) в точку 2($p_2, V_1$).

Участок 2-3: Изобарное расширение.
Процесс происходит при постоянном давлении ($p = p_2 = const$). Согласно закону Гей-Люссака, для изобарного процесса объем прямо пропорционален температуре ($V/T = const$). Так как газ расширяется ($V_3 > V_1$), его температура также растет ($T_3 > T_2$). В координатах p, V этот процесс изображается горизонтальной прямой, направленной вправо из точки 2($p_2, V_1$) в точку 3($p_2, V_3$).

Участок 3-4: Изотермическое расширение.
Процесс происходит при постоянной температуре ($T = T_3 = const$). Согласно закону Бойля-Мариотта, для изотермического процесса произведение давления на объем постоянно ($p \cdot V = const$). Газ расширяется ($V_4 > V_3$), следовательно, его давление уменьшается. Процесс заканчивается в точке 4 с параметрами ($p_1, V_4$), так как следующий процесс изобарный и возвращает газ в состояние 1. В координатах p, V этот процесс изображается участком гиперболы, идущим из точки 3($p_2, V_3$) в точку 4($p_1, V_4$).

Участок 4-1: Изобарное сжатие.
Процесс происходит при постоянном давлении ($p = p_1 = const$) и возвращает газ в исходное состояние. Объем уменьшается от $V_4$ до $V_1$, то есть происходит сжатие. В координатах p, V этот процесс изображается горизонтальной прямой, направленной влево из точки 4($p_1, V_4$) в точку 1($p_1, V_1$).

Ответ: График процесса в координатах p, V является замкнутым циклом, состоящим из следующих участков: 1-2 – вертикальный отрезок вверх (изохорное нагревание); 2-3 – горизонтальный отрезок вправо (изобарное расширение); 3-4 – участок гиперболы, идущий вниз и вправо (изотермическое расширение); 4-1 – горизонтальный отрезок влево (изобарное сжатие).

Анализ теплообмена

Для определения, получает или отдает тепло газ на каждом этапе, воспользуемся первым началом термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $\text{Q}$ – количество теплоты, переданное газу, $\Delta U$ – изменение его внутренней энергии, $\text{A}$ – работа, совершаемая газом.
Изменение внутренней энергии $\Delta U$ положительно ($\Delta U > 0$), если температура газа растет ($\Delta T > 0$), и отрицательно ($\Delta U < 0$), если температура падает ($\Delta T < 0$). Для идеального газа $\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T$.
Работа газа $\text{A}$ положительна ($A > 0$), если газ расширяется ($\Delta V > 0$), и отрицательна ($A < 0$), если газ сжимается ($\Delta V < 0$). При изохорном процессе $A = 0$.

Рассмотрим каждый этап:

Участок 1-2 (изохорное нагревание):
Объем постоянен, следовательно, работа газа равна нулю: $A_{12} = 0$.
Происходит нагревание, температура растет ($T_2 > T_1$), значит, внутренняя энергия увеличивается: $\Delta U_{12} > 0$.
Тогда количество теплоты $Q_{12} = \Delta U_{12} + 0 > 0$. Газ получает тепло.

Участок 2-3 (изобарное расширение):
Газ расширяется, объем увеличивается ($\Delta V > 0$), значит, газ совершает положительную работу: $A_{23} > 0$.
При изобарном расширении температура растет ($T_3 > T_2$), поэтому внутренняя энергия увеличивается: $\Delta U_{23} > 0$.
Тогда количество теплоты $Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} > 0$. Газ получает тепло.

Участок 3-4 (изотермическое расширение):
Процесс изотермический, температура постоянна ($\Delta T = 0$), значит, изменение внутренней энергии равно нулю: $\Delta U_{34} = 0$.
Газ расширяется ($\Delta V > 0$), следовательно, совершает положительную работу: $A_{34} > 0$.
Тогда количество теплоты $Q_{34} = 0 + A_{34} > 0$. Газ получает тепло.

Участок 4-1 (изобарное сжатие):
Газ сжимается, объем уменьшается ($\Delta V < 0$), следовательно, работа газа отрицательна: $A_{41} < 0$.
При изобарном сжатии температура падает (по закону Гей-Люссака, $V \sim T$). Мы знаем, что $T_1 < T_2 < T_3 = T_4$, значит $T_1 < T_4$. Температура уменьшается, поэтому и внутренняя энергия уменьшается: $\Delta U_{41} < 0$.
Тогда количество теплоты $Q_{41} = \Delta U_{41} + A_{41}$. Так как оба слагаемых отрицательны, $Q_{41} < 0$. Газ отдает тепло.

Ответ: Воздух получает тепло на этапах изохорного нагревания (1-2), изобарного расширения (2-3) и изотермического расширения (3-4). Воздух отдает тепло на этапе изобарного сжатия (4-1).