Номер 19.8, страница 116 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.8, страница 116.

Условие.

19.8*. Каково минимально возможное расстояние $l_{\text{min}}$ между предметом и его действительным изображением, полученным с помощью собирающей линзы? Какое увеличение $\Gamma$ дает линза в этом случае? Фокусное расстояние линзы равно $\text{F}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Собирающая линза с фокусным расстоянием $\text{F}$.
Изображение действительное.

Найти:

1. Минимально возможное расстояние $l_{min}$ между предметом и его действительным изображением.
2. Увеличение Г, которое дает линза в этом случае.

Решение:

Каково минимально возможное расстояние $l_{min}$ между предметом и его действительным изображением, полученным с помощью собирающей линзы?

Воспользуемся формулой тонкой линзы. Для собирающей линзы, дающей действительное изображение, она имеет вид: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$ где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, а $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения. Для действительного предмета и изображения $d > 0$ и $f > 0$.

Поскольку предмет и его действительное изображение находятся по разные стороны от собирающей линзы, расстояние между ними $\text{l}$ равно сумме расстояний от них до линзы: $$ l = d + f $$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя переменными ($\text{d}$, $\text{f}$, $\text{l}$). Наша цель — найти минимальное значение $\text{l}$. Выразим $\text{f}$ из второго уравнения: $f = l - d$, и подставим в первое: $$ \frac{1}{d} + \frac{1}{l-d} = \frac{1}{F} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю: $$ \frac{(l-d) + d}{d(l-d)} = \frac{1}{F} $$ $$ \frac{l}{d(l-d)} = \frac{1}{F} $$

Из этого соотношения выразим $\text{d}$: $$ lF = d(l-d) $$ $$ lF = ld - d^2 $$ $$ d^2 - ld + lF = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение относительно $\text{d}$. Для того чтобы существовало физически возможное положение предмета (и, соответственно, его действительное изображение), это уравнение должно иметь действительные корни. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$): $$ D = (-l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (lF) = l^2 - 4lF $$

Следовательно, должно выполняться неравенство: $$ l^2 - 4lF \ge 0 $$ $$ l(l - 4F) \ge 0 $$

Так как расстояние $l = d + f$ является суммой двух положительных величин, то $l > 0$. Значит, мы можем разделить обе части неравенства на $\text{l}$, не меняя его знак: $$ l - 4F \ge 0 $$ $$ l \ge 4F $$

Таким образом, минимально возможное расстояние между предметом и его действительным изображением составляет $\text{4F}$.

Ответ: $l_{min} = 4F$.

Какое увеличение Г дает линза в этом случае?

Минимальное расстояние $l = 4F$ достигается при условии, что дискриминант квадратного уравнения равен нулю: $D = 0$. В этом случае уравнение $d^2 - ld + lF = 0$ имеет единственный корень: $$ d = \frac{-(-l)}{2 \cdot 1} = \frac{l}{2} $$

Подставим в это выражение найденное минимальное значение $l_{min} = 4F$: $$ d = \frac{l_{min}}{2} = \frac{4F}{2} = 2F $$

Теперь найдем соответствующее расстояние до изображения $\text{f}$, используя соотношение $l = d + f$: $$ f = l_{min} - d = 4F - 2F = 2F $$

Линейное увеличение линзы Г определяется как отношение расстояния от линзы до изображения к расстоянию от предмета до линзы: $$ Г = \frac{f}{d} $$

Подставив найденные значения $d = 2F$ и $f = 2F$, получаем: $$ Г = \frac{2F}{2F} = 1 $$ Это означает, что при минимальном расстоянии между предметом и его действительным изображением, размеры изображения и предмета равны.

Ответ: Г = 1.