Номер 19.10, страница 117 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.10, страница 117.

Условие.

19.10. Постройте изображение предмета в собирающей линзе при $d < F$, т. е. когда предмет находится между линзой и ее фокусом. Докажите, что формула тонкой линзы применима и в этом случае, если считать, что для мнимого изображения $f < 0$.

Решение.

Решение 2.

Построение изображения предмета

Для построения изображения предмета, расположенного между собирающей линзой и ее передним фокусом ($d < F$), воспользуемся методом двух лучей.

1. Начертим главную оптическую ось, перпендикулярно ей — тонкую собирающую линзу с оптическим центром в точке $\text{O}$. Отметим по обе стороны от линзы на равном расстоянии главные фокусы $\text{F}$ (передний) и $F'$ (задний).

2. Разместим предмет (например, стрелку $\text{AB}$, где точка $\text{A}$ лежит на главной оптической оси) между линзой и фокусом $\text{F}$.

3. Из верхней точки предмета (точки $\text{B}$) проведем два луча:

• Луч 1: луч, параллельный главной оптической оси. После преломления в линзе этот луч пройдет через ее задний главный фокус $F'$.

• Луч 2: луч, проходящий через оптический центр линзы $\text{O}$. Этот луч не преломляется и продолжает свое распространение по прямой.

4. После прохождения через линзу лучи 1 и 2 становятся расходящимися. Они не пересекаются в действительности. Однако, если продолжить эти преломленные лучи в обратном направлении (в сторону предмета), их продолжения пересекутся в некоторой точке $B'$.

5. Эта точка $B'$ и будет мнимым изображением точки $\text{B}$. Опустив перпендикуляр из точки $B'$ на главную оптическую ось, получим точку $A'$. Стрелка $A'B'$ является изображением предмета $\text{AB}$.

Полученное изображение обладает следующими характеристиками:

• Мнимое: оно находится на пересечении продолжений лучей, а не самих лучей. Расположено с той же стороны от линзы, что и предмет.

• Прямое: изображение не перевернуто относительно предмета.

• Увеличенное: размеры изображения больше размеров предмета.

Именно по такому принципу работает лупа (увеличительное стекло).

Ответ: Изображение предмета, находящегося между собирающей линзой и ее фокусом, является мнимым, прямым и увеличенным. Оно расположено по ту же сторону от линзы, что и сам предмет.

Доказательство применимости формулы тонкой линзы

Рассмотрим геометрическое построение, описанное выше, и докажем, что формула тонкой линзы $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $ справедлива, если для мнимого изображения расстояние $\text{f}$ считать отрицательным.

Обозначим:

$AB = h$ – высота предмета.

$A'B' = h'$ – высота изображения.

$OA = d$ – расстояние от предмета до линзы.

$OA' = |f|$ – расстояние от изображения до линзы (модуль, так как мы доказываем формулу со знаками).

$OF' = F$ – фокусное расстояние линзы.

Решение

1. Рассмотрим пару подобных прямоугольных треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle A'B'O$. Они подобны по двум углам (прямые углы при $\text{A}$ и $A'$ и равные вертикальные углы при $\text{O}$). Из подобия следует соотношение сторон:

$ \frac{A'B'}{AB} = \frac{OA'}{OA} \implies \frac{h'}{h} = \frac{|f|}{d} $ (1)

2. Теперь рассмотрим другую пару подобных треугольников. Пусть луч, параллельный оси, падает на линзу в точке $\text{C}$. Тогда $CO = AB = h$. Треугольники $\triangle COF'$ и $\triangle A'B'F'$ подобны по двум углам (прямые углы при $\text{O}$ и $A'$ и общие вертикальные углы при $F'$, если рассматривать продолжения лучей). Из подобия следует:

$ \frac{A'B'}{CO} = \frac{A'F'}{OF'} $

Подставим известные величины: $CO = h$, $A'B' = h'$, $OF' = F$. Расстояние $A'F'$ равно сумме расстояний $OA'$ и $OF'$, то есть $A'F' = |f| + F$. Получаем:

$ \frac{h'}{h} = \frac{|f| + F}{F} $ (2)

3. Приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как левые части у них одинаковы:

$ \frac{|f|}{d} = \frac{|f| + F}{F} $

4. Выполним преобразования, чтобы выразить связь между $\text{d}$, $|f|$ и $\text{F}$:

$ |f| \cdot F = d \cdot (|f| + F) $

$ |f|F = d|f| + dF $

Перенесем слагаемые с $|f|$ в одну сторону:

$ |f|F - d|f| = dF $

$ |f|(F - d) = dF $

$ \frac{1}{|f|} = \frac{F-d}{dF} = \frac{F}{dF} - \frac{d}{dF} = \frac{1}{d} - \frac{1}{F} $

$ \frac{1}{F} - \frac{1}{|f|} = \frac{1}{d} $

5. Теперь введем правило знаков, согласно которому для мнимого изображения расстояние до него от линзы $\text{f}$ является отрицательной величиной. То есть, $f = -|f|$. Подставим $|f| = -f$ в полученное выражение:

$ \frac{1}{d} - \frac{1}{-f} = \frac{1}{F} $

$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Таким образом, мы получили стандартную формулу тонкой линзы. Это доказывает, что она применима и для случая получения мнимого изображения в собирающей линзе, если принять расстояние до мнимого изображения $\text{f}$ отрицательным.

Ответ: Геометрическое построение на основе подобных треугольников и введение правила знаков, согласно которому расстояние до мнимого изображения $\text{f}$ отрицательно, приводит к стандартному виду формулы тонкой линзы $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $, что и доказывает ее применимость в данном случае.