Номер 19.17, страница 118 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.17, страница 118.

Условие.

19.17*. Осветитель представляет собой цилиндрическую трубку радиусом $R = 10 \text{ мм}$, в которую вставлена собирающая линза; на оси трубки на расстоянии $d = 20 \text{ см}$ от линзы находится точечный источник света (см. рисунок). На экране, расположенном перпендикулярно оси трубки на расстоянии $a = 30 \text{ см}$ от линзы, осветитель дает круглое светлое пятно радиусом $r = 5,0 \text{ мм}$. Каково фокусное расстояние $\text{F}$ линзы? Отражением света от стенок трубки можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус трубки (и линзы): $R = 10 \text{ мм}$

Расстояние от источника до линзы: $d = 20 \text{ см}$

Расстояние от линзы до экрана: $a = 30 \text{ см}$

Радиус светлого пятна: $r = 5,0 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:

$R = 0,01 \text{ м}$

$d = 0,2 \text{ м}$

$a = 0,3 \text{ м}$

$r = 0,005 \text{ м}$

Найти:

Фокусное расстояние линзы $\text{F}$.

Решение:

Положение изображения точечного источника света, находящегося на главной оптической оси, определяется формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $\text{d}$ — расстояние от источника до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения, $\text{F}$ — фокусное расстояние.

Размер светлого пятна на экране определяется лучами, прошедшими через края линзы (которые в данном случае служат диафрагмой). Рассмотрим луч, идущий от источника к самому краю линзы (на расстоянии $\text{R}$ от оси). После преломления этот луч пересекает главную оптическую ось в точке, где формируется изображение источника (на расстоянии $\text{f}$ от линзы). Далее луч попадает на экран, образуя край светлого пятна на расстоянии $\text{r}$ от оси.

Из подобия треугольников, образованных ходом этого луча и главной оптической осью, следует соотношение:

$\frac{R}{f} = \frac{r}{|a-f|}$

Поскольку радиус пятна на экране ($r=5$ мм) меньше радиуса линзы ($R=10$ мм), это означает, что после прохождения линзы лучи сходятся к оси. Следовательно, изображение, создаваемое собирающей линзой, является действительным ($f>0$).

Преобразуем уравнение подобия, используя числовые значения в сантиметрах ($R=1$ см, $a=30$ см, $r=0,5$ см):

$\frac{1}{0,5} = \frac{f}{|30-f|}$

$2|30-f| = f$

Это уравнение распадается на два случая в зависимости от знака выражения в модуле.

Случай 1: Изображение формируется за экраном ($f > a$).

В этом случае $f > 30$ см, поэтому $|30-f| = f-30$.

$2(f-30) = f$

$2f - 60 = f$

$f_1 = 60 \text{ см}$

Это значение удовлетворяет условию $f>30$ см. Теперь найдем фокусное расстояние $F_1$, используя $d = 20$ см и $f_1 = 60$ см:

$\frac{1}{F_1} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{60} = \frac{3+1}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$

$F_1 = 15 \text{ см}$

Случай 2: Изображение формируется перед экраном ($f < a$).

В этом случае $f < 30$ см, поэтому $|30-f| = 30-f$.

$2(30-f) = f$

$60 - 2f = f$

$3f = 60$

$f_2 = 20 \text{ см}$

Это значение удовлетворяет условию $f<30$ см. Найдем соответствующее фокусное расстояние $F_2$, используя $d = 20$ см и $f_2 = 20$ см:

$\frac{1}{F_2} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

$F_2 = 10 \text{ см}$

Оба решения являются физически возможными. Таким образом, задача имеет два ответа.

Ответ: Фокусное расстояние линзы может быть равно 10 см или 15 см.