Номер 19.23, страница 118 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.23, страница 118.

Условие.

19.23*. Предмет фотографируют с расстояния $d_0 = 2,0$ м. При этом на пленке получается четкое изображение. В каких пределах можно изменять расстояние $\text{d}$ до предмета, чтобы размытость изображения (размер «изображения» каждой точки предмета) не превышала $a = 0,10$ мм? Фокусное расстояние объектива $F = 50$ мм, диаметр $D = 30$ мм.

Решение.

Решение 2.

Дано

$d_0 = 2,0$ м

$a = 0,10$ мм

$F = 50$ мм

$D = 30$ мм

Перевод в систему СИ:

$d_0 = 2,0$ м

$a = 0,10 \times 10^{-3}$ м $= 10^{-4}$ м

$F = 50 \times 10^{-3}$ м $= 0,05$ м

$D = 30 \times 10^{-3}$ м $= 0,03$ м

Найти:

Пределы изменения расстояния $\text{d}$ до предмета ($d_{min}$, $d_{max}$).

Решение

Когда фотоаппарат сфокусирован на предмет, находящийся на расстоянии $d_0$, пленка располагается на расстоянии $f_0$ от объектива, где формируется четкое изображение. Это расстояние определяется формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d_0} + \frac{1}{f_0} = \frac{1}{F}$

Если расстояние до предмета изменяется на $d \neq d_0$, то четкое изображение будет формироваться на новом расстоянии $\text{f}$ от объектива, в то время как пленка остается на прежнем расстоянии $f_0$. В результате изображение каждой точки предмета на пленке будет представлять собой пятно (круг нерезкости) диаметром $a'$. По условию, этот диаметр не должен превышать $a = 0,10$ мм.

Из подобия треугольников, образованных лучами света, проходящими через края объектива, можно вывести соотношение, связывающее диаметр круга нерезкости $a'$, диаметр объектива $\text{D}$, расстояние до четкого изображения $\text{f}$ и расстояние до пленки $f_0$:

$\frac{a'}{D} = \frac{|f - f_0|}{f}$

Предельные значения расстояния до предмета ($d_{min}$ и $d_{max}$) будут соответствовать максимальному допустимому диаметру круга нерезкости $\text{a}$. Эти пределы определяют так называемую глубину резко изображаемого пространства.

Найдем эти предельные расстояния. Для этого можно вывести общую формулу. Из формулы линзы $\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f}$ и из соотношения для нерезкости $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_0} \mp \frac{a}{D f_0}$ (знак зависит от того, ближе или дальше находится предмет от точки фокусировки), можно получить:

$\frac{1}{d} = \frac{1}{F} - \frac{1}{f_0}(1 \mp \frac{a}{D})$

Подставив сюда выражение для $\frac{1}{f_0} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_0}$, получим:

$\frac{1}{d} = \frac{1}{d_0} \pm \frac{a}{D}(\frac{1}{F} - \frac{1}{d_0})$

Знак «+» соответствует минимальному расстоянию $d_{min}$ (передний предел глубины резкости), а знак «−» — максимальному $d_{max}$ (задний предел глубины резкости).

Произведем вычисления.

Сначала рассчитаем вспомогательную величину $\Delta = \frac{a}{D}(\frac{1}{F} - \frac{1}{d_0})$:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{0,05 \text{ м}} = 20 \text{ м}^{-1}$

$\frac{1}{d_0} = \frac{1}{2,0 \text{ м}} = 0,5 \text{ м}^{-1}$

$\Delta = \frac{10^{-4} \text{ м}}{0,03 \text{ м}} (20 \text{ м}^{-1} - 0,5 \text{ м}^{-1}) = \frac{1}{300} \times 19,5 \text{ м}^{-1} = 0,065 \text{ м}^{-1}$

Теперь найдем предельные расстояния $d_{min}$ и $d_{max}$:

Для минимального расстояния:

$\frac{1}{d_{min}} = \frac{1}{d_0} + \Delta = 0,5 \text{ м}^{-1} + 0,065 \text{ м}^{-1} = 0,565 \text{ м}^{-1}$

$d_{min} = \frac{1}{0,565 \text{ м}^{-1}} \approx 1,77$ м

Для максимального расстояния:

$\frac{1}{d_{max}} = \frac{1}{d_0} - \Delta = 0,5 \text{ м}^{-1} - 0,065 \text{ м}^{-1} = 0,435 \text{ м}^{-1}$

$d_{max} = \frac{1}{0,435 \text{ м}^{-1}} \approx 2,30$ м

Следовательно, чтобы размытость изображения не превышала 0,10 мм, расстояние до предмета должно находиться в указанных пределах.

Ответ:

Расстояние $\text{d}$ до предмета можно изменять в пределах от $1,77$ м до $2,30$ м, то есть $1,77 \text{ м} \le d \le 2,30 \text{ м}$.