Номер 19.26, страница 119 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.26, страница 119.

Условие.

19.26. На расстоянии $l = 90$ см от стены находится лампа. На каком расстоянии $\text{f}$ от стены следует разместить собирающую линзу с фокусным расстоянием $F = 20$ см, чтобы получить на стене четкое изображение нити накала лампы? Главная оптическая ось линзы перпендикулярна стене.

Решение.

Решение 2.

Дано

$l = 90 \text{ см}$
$F = 20 \text{ см}$

$l = 0,9 \text{ м}$
$F = 0,2 \text{ м}$

Найти:

$f - ?$

Решение

Для получения четкого изображения на стене (экране) воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

где $\text{d}$ — расстояние от предмета (нити накала лампы) до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения (стены), $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы.

Согласно условию задачи, расстояние от лампы до стены $\text{l}$ равно сумме расстояний от лампы до линзы и от линзы до стены:

$l = d + f$

Из этого соотношения выразим расстояние $\text{d}$:

$d = l - f$

Подставим это выражение в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{l - f} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{f + (l - f)}{(l - f)f} = \frac{1}{F}$

$\frac{l}{lf - f^2} = \frac{1}{F}$

Избавимся от дробей, используя основное свойство пропорции:

$lF = lf - f^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\text{f}$:

$f^2 - lf + lF = 0$

Подставим в уравнение числовые значения из условия задачи: $l = 90$ см, $F = 20$ см.

$f^2 - 90f + 90 \cdot 20 = 0$

$f^2 - 90f + 1800 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $\text{D}$:

$D = b^2 - 4ac = (-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1800 = 8100 - 7200 = 900$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$f_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 + \sqrt{900}}{2} = \frac{90 + 30}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ см}$

$f_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 - \sqrt{900}}{2} = \frac{90 - 30}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ см}$

Оба полученных значения являются физически возможными. Это означает, что существуют два положения линзы между лампой и стеной, при которых на стене будет получено четкое изображение.

Ответ: чтобы получить на стене четкое изображение нити накала лампы, собирающую линзу следует разместить на расстоянии 30 см или 60 см от стены.