Номер 19.19, страница 118 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.19, страница 118.

Условие.

19.19. Какое фокусное расстояние $\text{F}$ должен иметь объектив:

а) для получения уменьшенной фотокопии текста в масштабе $1 : 10$ (фотографирование производится с расстояния $d = 1$ м);

б) для получения снимков местности в масштабе $1 : 5\ 000$ при топографической съемке с самолета, летящего на высоте $h = 1$ км?

Решение.

Решение 2.

а) для получения уменьшенной фотокопии текста в масштабе 1 : 10 (фотографирование производится с расстояния d = 1 м);

Дано:

Масштаб (линейное увеличение) $ \Gamma_a = 1:10 = 0.1 $

Расстояние от объектива до текста $ d_a = 1 $ м

Найти:

Фокусное расстояние объектива $ F_a $

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения. Объектив фотоаппарата представляет собой собирающую линзу.

Формула тонкой линзы имеет вид:

$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f'} $

где $ F $ — фокусное расстояние линзы, $ d $ — расстояние от объекта до линзы, $ f' $ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение $ \Gamma $, которое в данном случае равно масштабу, определяется соотношением:

$ \Gamma = \frac{f'}{d} $

Из формулы для увеличения выразим расстояние от объектива до изображения (до фотопленки или матрицы):

$ f'_a = \Gamma_a \cdot d_a $

Подставим числовые значения:

$ f'_a = 0.1 \cdot 1 \text{ м} = 0.1 \text{ м} $

Теперь подставим известные значения $ d_a $ и $ f'_a $ в формулу тонкой линзы для нахождения фокусного расстояния $ F_a $:

$ \frac{1}{F_a} = \frac{1}{d_a} + \frac{1}{f'_a} = \frac{1}{1 \text{ м}} + \frac{1}{0.1 \text{ м}} $

$ \frac{1}{F_a} = 1 + 10 = 11 \text{ м}^{-1} $

Отсюда находим фокусное расстояние:

$ F_a = \frac{1}{11} \text{ м} \approx 0.0909 \text{ м} $

Переведем в сантиметры для удобства:

$ F_a \approx 0.0909 \cdot 100 \text{ см} \approx 9.1 \text{ см} $

Ответ: фокусное расстояние объектива должно быть примерно 9.1 см.

б) для получения снимков местности в масштабе 1 : 5 000 при топографической съемке с самолета, летящего на высоте h = 1 км?

Дано:

Масштаб $ \Gamma_б = 1:5000 $

Высота полета (расстояние до объекта) $ h = 1 $ км

$ h = 1 \text{ км} = 1000 $ м

Найти:

Фокусное расстояние объектива $ F_б $

Решение:

В данном случае объектом съемки является местность, находящаяся на большом расстоянии от объектива. Расстояние от объекта до линзы $ d_б = h = 1000 $ м. Так как это расстояние значительно превышает фокусное расстояние объектива ($ d_б \gg F_б $), изображение формируется очень близко к фокальной плоскости. Поэтому можно считать, что расстояние от линзы до изображения приблизительно равно фокусному расстоянию:

$ f'_б \approx F_б $

Воспользуемся формулой линейного увеличения:

$ \Gamma_б = \frac{f'_б}{d_б} $

Заменив $ f'_б $ на $ F_б $ и $ d_б $ на $ h $, получим приближенное соотношение:

$ \Gamma_б \approx \frac{F_б}{h} $

Отсюда выражаем искомое фокусное расстояние:

$ F_б \approx \Gamma_б \cdot h $

Подставим числовые значения:

$ F_б \approx \frac{1}{5000} \cdot 1000 \text{ м} = 0.2 \text{ м} $

Переведем в сантиметры:

$ F_б \approx 0.2 \cdot 100 \text{ см} = 20 \text{ см} $

Ответ: фокусное расстояние объектива должно быть примерно 20 см.