Номер 19.22, страница 118 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.22, страница 118.

Условие.

19.22*. При съемке с расстояния $d_1 = 4,25$ м изображение предмета имеет высоту $H_1 = 2,7$ мм; при съемке с расстояния $d_2 = 1,0$ м — высоту $H_2 = 12$ мм. Найдите фокусное расстояние $\text{F}$ объектива.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Расстояние до предмета в первом случае $d_1 = 4,25 \text{ м}$
Высота изображения в первом случае $H_1 = 2,7 \text{ мм}$
Расстояние до предмета во втором случае $d_2 = 1,0 \text{ м}$
Высота изображения во втором случае $H_2 = 12 \text{ мм}$

Переведем все величины в систему СИ:
$H_1 = 2,7 \text{ мм} = 2,7 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$H_2 = 12 \text{ мм} = 12 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Фокусное расстояние объектива $\text{F}$.

Решение:
Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения.
Формула тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$
где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения.
Формула линейного увеличения линзы:
$\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$
где $\text{H}$ — высота изображения, $\text{h}$ — высота предмета.
Из формулы тонкой линзы выразим расстояние до изображения $\text{f}$:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d - F}{dF}$
$f = \frac{dF}{d - F}$
Подставим это выражение для $\text{f}$ в формулу увеличения:
$\frac{H}{h} = \frac{1}{d} \cdot \frac{dF}{d - F} = \frac{F}{d - F}$
Запишем это соотношение для двух случаев, описанных в условии задачи. Высота предмета $\text{h}$ и фокусное расстояние $\text{F}$ остаются неизменными.
Для первого случая:
$\frac{H_1}{h} = \frac{F}{d_1 - F} \implies h = H_1 \frac{d_1 - F}{F}$
Для второго случая:
$\frac{H_2}{h} = \frac{F}{d_2 - F} \implies h = H_2 \frac{d_2 - F}{F}$
Приравняем выражения для высоты предмета $\text{h}$:
$H_1 \frac{d_1 - F}{F} = H_2 \frac{d_2 - F}{F}$
Так как $F \neq 0$, можем умножить обе части на $\text{F}$:
$H_1(d_1 - F) = H_2(d_2 - F)$
$H_1 d_1 - H_1 F = H_2 d_2 - H_2 F$
Перенесем слагаемые с $\text{F}$ в одну сторону:
$H_2 F - H_1 F = H_2 d_2 - H_1 d_1$
$F(H_2 - H_1) = H_2 d_2 - H_1 d_1$
Отсюда выразим фокусное расстояние $\text{F}$:
$F = \frac{H_2 d_2 - H_1 d_1}{H_2 - H_1}$
Подставим числовые значения. Можно использовать высоты $H_1$ и $H_2$ в миллиметрах, так как их отношение безразмерно, и в итоге фокусное расстояние получится в метрах.
$F = \frac{12 \text{ мм} \cdot 1,0 \text{ м} - 2,7 \text{ мм} \cdot 4,25 \text{ м}}{12 \text{ мм} - 2,7 \text{ мм}}$
$F = \frac{12 - 11,475}{9,3} \text{ м} = \frac{0,525}{9,3} \text{ м} \approx 0,05645 \text{ м}$
Округлим результат до двух значащих цифр, так как данные в условии имеют два или три знака:
$F \approx 0,056 \text{ м} = 56 \text{ мм}$

Ответ: фокусное расстояние объектива примерно равно $56 \text{ мм}$.