Номер 19.28, страница 119 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.28, страница 119.

Условие.

19.28*. С помощью собирающей линзы на экране получают уменьшенное изображение предмета, находящегося на расстоянии $l = 45$ см от экрана. Перемещая линзу, получают на экране другое изображение, в $k = 4$ раза больше первого. Каково фокусное расстояние $\text{F}$ линзы?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Расстояние между предметом и экраном: $l = 45 \text{ см}$

Отношение размеров второго и первого изображений: $k = 4$

Перевод в систему СИ:

$l = 0.45 \text{ м}$

Найти:

Фокусное расстояние линзы $F - ?$

Решение:

Запишем формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения, $\text{F}$ — фокусное расстояние.

Расстояние между предметом и экраном (где формируется изображение) постоянно и равно $l = d + f$.

Для фиксированного расстояния $\text{l}$ существуют два положения линзы, при которых на экране получается резкое изображение. Пусть в первом положении расстояние от предмета до линзы равно $d_1$, а от линзы до экрана — $f_1$. Тогда во втором положении эти расстояния меняются местами (свойство сопряженных точек): $d_2 = f_1$ и $f_2 = d_1$.

Линейное увеличение в первом случае $\Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1}$. По условию, первое изображение уменьшенное, значит $\Gamma_1 < 1$, из чего следует, что $f_1 < d_1$.

Линейное увеличение во втором случае $\Gamma_2 = \frac{f_2}{d_2} = \frac{d_1}{f_1}$. Так как $f_1 < d_1$, то $\Gamma_2 > 1$, то есть второе изображение — увеличенное.

По условию, размер второго изображения в $\text{k}$ раз больше размера первого. Это означает, что отношение их увеличений равно $\text{k}$:

$\frac{\Gamma_2}{\Gamma_1} = k$

Подставим выражения для увеличений:

$\frac{d_1/f_1}{f_1/d_1} = (\frac{d_1}{f_1})^2 = k$

Отсюда находим соотношение между $d_1$ и $f_1$:

$\frac{d_1}{f_1} = \sqrt{k}$ или $d_1 = f_1 \sqrt{k}$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$d_1 + f_1 = l$

$d_1 = f_1 \sqrt{k}$

Подставим второе уравнение в первое:

$f_1 \sqrt{k} + f_1 = l$

$f_1(\sqrt{k} + 1) = l$

$f_1 = \frac{l}{\sqrt{k} + 1}$

Тогда $d_1 = l - f_1 = l - \frac{l}{\sqrt{k} + 1} = \frac{l\sqrt{k}}{\sqrt{k} + 1}$.

Теперь, зная $d_1$ и $f_1$, можем найти фокусное расстояние из формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{d_1 + f_1}{d_1 f_1} = \frac{l}{d_1 f_1}$

Выразим $\text{F}$:

$F = \frac{d_1 f_1}{l} = \frac{1}{l} \cdot \left(\frac{l\sqrt{k}}{\sqrt{k} + 1}\right) \cdot \left(\frac{l}{\sqrt{k} + 1}\right) = \frac{l\sqrt{k}}{(\sqrt{k} + 1)^2}$

Подставим числовые значения из условия: $l = 45 \text{ см}$, $k=4$ ($\sqrt{k}=2$):

$F = \frac{45 \cdot 2}{(2 + 1)^2} = \frac{90}{3^2} = \frac{90}{9} = 10 \text{ см}$

Ответ: фокусное расстояние линзы $F = 10 \text{ см}$.