Номер 19.34, страница 120 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Оптика. 19. Оптические системы и приборы - номер 19.34, страница 120.

Условие.

19.34*. Две тонкие линзы с оптическими силами $D_1$ и $D_2$ имеют общую главную оптическую ось и расположены вплотную друг к другу. Докажите, что их можно заменить одной линзой с оптической силой $D = D_1 + D_2$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Две тонкие линзы с оптическими силами $D_1$ и $D_2$.

Линзы имеют общую главную оптическую ось и расположены вплотную друг к другу.

Найти:

Доказать, что оптическая сила эквивалентной линзы $D = D_1 + D_2$.

Решение:

Рассмотрим предмет, расположенный на расстоянии $\text{d}$ от первой линзы. Поскольку линзы расположены вплотную, это же расстояние можно считать расстоянием до всей системы.

Запишем формулу тонкой линзы для первой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_1} = D_1$ (1)

где $f_1$ — расстояние от первой линзы до изображения, которое она создает.

Это изображение, созданное первой линзой, служит предметом для второй линзы. Так как линзы расположены вплотную, расстояние между ними пренебрежимо мало. Следовательно, расстояние от второй линзы до этого предмета (изображения от первой линзы) равно $d_2 = -f_1$. Знак "минус" ставится потому, что если изображение от первой линзы действительное ($f_1 > 0$), оно находится за второй линзой и является для неё мнимым предметом. Если же изображение мнимое ($f_1 < 0$), оно находится перед второй линзой и является для неё действительным предметом. Формула тонкой линзы учитывает это правило знаков.

Теперь запишем формулу тонкой линзы для второй линзы:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f} = D_2$

Подставим $d_2 = -f_1$:

$-\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f} = D_2$ (2)

где $\text{f}$ — расстояние от системы линз до конечного изображения.

Теперь сложим уравнения (1) и (2):

$(\frac{1}{d} + \frac{1}{f_1}) + (-\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f}) = D_1 + D_2$

Члены $\frac{1}{f_1}$ и $-\frac{1}{f_1}$ взаимно уничтожаются:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D_1 + D_2$

Полученное выражение является формулой тонкой линзы для системы из двух линз. Если заменить эту систему одной эквивалентной линзой с оптической силой $\text{D}$, то для неё формула будет иметь вид:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D$

Сравнивая два последних уравнения, приходим к выводу, что оптическая сила эквивалентной линзы равна сумме оптических сил исходных линз.

$D = D_1 + D_2$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано, что систему из двух тонких линз с оптическими силами $D_1$ и $D_2$, расположенных вплотную друг к другу на общей главной оптической оси, можно заменить одной линзой с оптической силой $D = D_1 + D_2$.